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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】若一個正整數能表示為兩個正整數的平方差,則稱這個正整數為“智慧數”(如,.已知智慧數按從小到大的順序構成如下數列:則第個智慧數是__________.

          【答案】2695

          【解析】

          如果一個數是智慧數,就能表示為兩個正整數的平方差,設這兩個數分別mn,設mn,即智慧數=m2-n2=m+n)(m-n),因為mn是正整數,因而m+nm-n就是兩個自然數.要判斷一個數是否是智慧數,可以把這個數分解因數,分解成兩個整數的積,看這兩個數能否寫成兩個正整數的和與差.

          解:1不能表示為兩個正整數的平方差,所以1不是智慧數.對于大于1的奇正整數2k+1,有2k+1=k+12-k2k=12,).所以大于1的奇正整數都是智慧數
          對于被4整除的偶數4k,有4k=k+12-k-12k=2,3).
          即大于4的被4整除的數都是智慧數,而4不能表示為兩個正整數平方差,所以4不是智慧數
          對于被4除余2的數4k+2k=0,1,2,3,),設4k+2=x2-y2=x+y)(x-y),其中x,y為正整數,
          x,y奇偶性相同時,(x+y)(x-y)被4整除,而4k+2不被4整除;
          x,y奇偶性相異時,(x+y)(x-y)為奇數,而4k+2為偶數,總得矛盾.
          所以不存在自然數x,y使得x2-y2=4k+2.即形如4k+2的數均不為智慧數
          因此,在正整數列中前四個正整數只有3智慧數,此后,每連續(xù)四個數中有三個智慧數
          因為2017=1+3×672),672+1=2692,所以2692是第2017智慧數,
          所以2693是第2018智慧數2694÷4=673……2,所以不是智慧數,2695是第2019智慧數
          故答案為: 2695

          練習冊系列答案
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          (2)如下圖所示:點D(m, n)在線段BC上,求m、n滿足的關系式;

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