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        1. 【題目】如圖,矩形ABCD中,BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E,F(xiàn)為BE上一點(diǎn),連接DF,過(guò)F作FG⊥DF交BC于點(diǎn)G,連接BD交FG于點(diǎn)H,若FD = FG, ,BG = 4,則GH的長(zhǎng)為__________

          【答案】

          【解析】過(guò)點(diǎn)FBC的垂線,分別交BC、AD于點(diǎn)M、N,則MNAD,過(guò)點(diǎn)AAPBD于點(diǎn)P,延長(zhǎng)DFAB于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)KKQBD于點(diǎn)Q,如圖所示。

          FDFG,

          ∴∠DFG=90°

          ∴∠DFN+MFG=90°,

          ∵∠DNF=90°,

          ∴∠NDF+DFN=90°,

          ∴∠NDF=MFG

          DNFFMG中,

          DNFFMG(AAS),

          DN=FM,NF=MG.

          ∵∠BAD=90°,BE平分∠ABC,

          ∴∠ABE=CBE=45°,

          又∵FMBM

          FM=BM,

          BF=,

          BM=FM=3,MG=BGBM=43=1

          NF=MG=1,AB=NM=4,AD=AN+ND=BM+FM=6

          BD=.

          由面積公式可知:SABD=BDAP=ABAD,AP=4×6,

          AP=

          NFAB,

          DNFDAK,

          AK=2NF=2,DK= =2,DF==.

          BK=ABAK=42=2,

          KQAP,

          BKQBAP,

          ,, ,

          KQ=,

          BQ===,

          DQ=BDBQ==

          ∵∠DFH=DQK=90°FDH=QDK,

          DFHDQK,

          ,

          FH=,

          GH=FGFH==.

          故答案為:

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          2)問(wèn)題探究

          小紅提出了一個(gè)猜想:對(duì)角線互相平分且相等的等鄰邊四邊形是正方形.她的猜想正確嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

          3)如圖2,等鄰邊四邊形ABCD中,ABAD,BADBCD90°,AC,BD為對(duì)角線,AC AB.試探究線段BC,CD,BD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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          (1)求一根A型跳繩和一根B型跳繩的售價(jià)各是多少元?

          (2)學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)這兩種型號(hào)的跳繩共50根,并且A型跳繩的數(shù)量不多于B型跳繩數(shù)量的3倍,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)書(shū)最省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案,并說(shuō)明理由.

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          B.2x2+xy+3y2
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          D.﹣8x2+3xy﹣y2

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