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        1. 如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,點(diǎn)D是BC上一個(gè)動點(diǎn)(不與B、C重合),在AC上取精英家教網(wǎng)E點(diǎn),使∠ADE=45度.
          (1)求證:△ABD∽△DCE;
          (2)設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
          (3)當(dāng):△ADE是等腰三角形時(shí),求AE的長.
          分析:此題有三問,(1)證明△ABD∽△DCE,已經(jīng)有∠B=∠C,只需要再找一對角相等就可以了;
          (2)由(1)證得△ABD∽△DCE,有相似就線段成比例,于是利用(1)的結(jié)果可證得(2);
          (3)當(dāng)△ABD∽△DCE時(shí),可能是DA=DE,也可能是ED=EA,所以要分兩種情況證明結(jié)論.
          解答:(1)證明:∵△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,
          ∴∠ABC=∠ACB=45°.
          ∵∠ADE=45°,
          ∴∠BDA+∠CDE=135°.
          又∠BDA+∠BAD=135°,
          ∴∠BAD=∠CDE.
          ∴△ABD∽△DCE.

          (2)解:∵△ABD∽△DCE,
          AB
          CD
          =
          BD
          CE
          ;
          ∵BD=x,
          ∴CD=BC-BD=
          2
          -x.
          1
          2
          -x
          =
          x
          CE

          ∴CE=
          2
          x-x2
          ∴AE=AC-CE=1-(
          2
          x-x2)=x2-
          2
          x+1.
          即y=x2-
          2
          x+1.

          (3)解:∠DAE<∠BAC=90°,∠ADE=45°,
          ∴當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí),第一種可能是AD=DE.
          又∵△ABD∽△DCE,
          ∴△ABD≌△DCE.
          ∴CD=AB=1.
          ∴BD=
          2
          -1.
          ∵BD=CE,
          ∴AE=AC-CE=2-
          2

          當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí),第二種可能是ED=EA.
          ∵∠ADE=45°,
          ∴此時(shí)有∠DEA=90°.
          即△ADE為等腰直角三角形.
          ∴AE=DE=
          1
          2
          AC=
          1
          2

          當(dāng)AD=EA時(shí),點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,不合題意,所以舍去,
          因此AE的長為2-
          2
          1
          2
          點(diǎn)評:此題三個(gè)問題各有特點(diǎn),卻又緊密相聯(lián),第一個(gè)問題考查的是三角形的相似;第二個(gè)問題看起來是考查的函數(shù)但卻與第一問緊密相聯(lián),運(yùn)用第一問的結(jié)論即可順利解決;第三問的關(guān)鍵是分類討論,要考慮等腰的幾種不同情況.
          練習(xí)冊系列答案
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          26、已知:如圖,△ABC中,點(diǎn)D在AC的延長線上,CE是∠DCB的角平分線,且CE∥AB.
          求證:∠A=∠B.

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          27、已知:如圖,△ABC中,∠BAC=60°,D、E兩點(diǎn)在直線BC上,連接AD、AE.
          求:∠1+∠2+∠3+∠4.

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          27、如圖,△ABC中,AD⊥BC于D,DN⊥AC于N,DM⊥AB于M
          求證:∠ANM=∠B.

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          14、如圖,△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,則∠C的大小是( 。

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          精英家教網(wǎng)已知,如圖,△ABC中,點(diǎn)D在BC上,且∠1=∠C,∠2=2∠3,∠BAC=70°.
          (1)求∠2的度數(shù);
          (2)若畫∠DAC的平分線AE交BC于點(diǎn)E,則AE與BC有什么位置關(guān)系,請說明理由.

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          同步練習(xí)冊答案