Question

在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，設(shè)銳角∠DOC=α，將△DOC按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△D′OC′（0°＜旋轉(zhuǎn)角＜90°）連接AC′、BD′，AC′與BD′相交于點(diǎn)M．
（1）當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，如圖1，請(qǐng)猜想AC′與BD′的數(shù)量關(guān)系以及∠AMB與α的大小關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時(shí)，如圖2，已知AC=BD，請(qǐng)猜想此時(shí)AC′與BD′的數(shù)量關(guān)系以及∠AMB與α的大小關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）當(dāng)四邊形ABCD是等腰梯形時(shí)，如圖3，AD∥BC，此時(shí)（1）AC′與BD′的數(shù)量關(guān)系是否成立？∠AMB與α的大小關(guān)系是否成立？不必證明，直接寫出結(jié)論．

Answer 1

解：（1）AC′=BD′，∠AMB=α，
證明：在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OA=OC=OB=OD，
又∵OD=OD′，OC=OC′，
∴OB=OD′=OA=OC′，
∵∠D′OD=∠C′OC，
∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC，
∴∠BOD′=∠AOC′，
∴△BOD′≌△AOC′，
∴BD′=AC′，
∴∠OBD′=∠OAC′，
設(shè)BD^′與OA相交于點(diǎn)N，
∴∠BNO=∠ANM，
∴180°-∠OAC′-∠ANM=180°-∠OBD′-∠BNO，
即∠AMB=∠AOB=∠COD=α，
綜上所述，BD′=AC′，∠AMB=α，
（2）AC′=kBD′，∠AMB=α，
證明：在平行四邊形ABCD中，OB=OD，OA=OC，
又∵OD=OD′，OC=OC′，
∴OB：OA=OD′：C′，
∵∠D′OD=∠C′OC，
∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC，
∴∠BOD′=∠AOC′，
∴△BOD′∽△AOC′，
∴BD′：AC′=OB：OA=BD：AC，
∵AC=kBD，
∴AC′=kBD′，
∵△BOD′∽△AOC′，
設(shè)BD′與OA相交于點(diǎn)N，
∴∠BNO=∠ANM，
∴180°-∠OAC′-∠ANM=180°-∠OBD′-∠BNO，即∠AMB=∠AOB=α，
綜上所述，AC′=kBD′，∠AMB=α，

（3）AC′=BD′成立，∠AMB=α不成立．

略