Question

7．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=6cm，BC=12cm，點E由點A出發(fā)沿AB方向向點B勻速移動，速度為1cm/s，點F由點B出發(fā)沿BC方向向點C勻速移動，速度為2cm/s，如果動點E、F同時從A、B兩點出發(fā)，連接EF，若設運動時間為ts，解答下列問題．
（1）當t為2s時，△BEF為等腰直角三角形；
（2）當t為3s時，△DFC為等腰直角三角形；
（3）是否存在某一時刻，使△EFB∽△FDC？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知條件易證四邊形ABCD是矩形，所以∠A=∠B=∠C=90°，若△BEF為等腰直角三角形，則BE=BF，進而可求出t的值；
（2）由（1）可知∠C=90°，若△DFC為等腰直角三角形，則CF=DC，進而可求出t的值；
（3）若△EFB∽△FDC，則BE：CF=BF：DC，結合題目的已知條件可得到關于t的方程，解方程即可得知是否存在t的值．

解答 解：
（1）∵在平行四邊形ABCD中，∠A=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
∴若△BEF為等腰直角三角形，則BE=BF，
∵點E由點A出發(fā)沿AB方向向點B勻速移動，速度為1cm/s，點F由點B出發(fā)沿BC方向向點C勻速移動，速度為2cm/s，AB=6cm，BC=12cm，
∴BE=（6-t）cm，BF=2t，
∴6-t=2t，
∴t=2s，
故答案為2s；
（2）由（1）可知若△DFC為等腰直角三角形，則CF=DC，
∵CF=2tcm，DC=6cm，
∴2t=6，
∴t=3s，
故答案為3s；
（3）存在某一時刻，使△EFB∽△FDC，
∵△EFB∽△FDC，
∴BE：CF=BF：DC，
∴$\frac{6-t}{12-2t}=\frac{2t}{6}$，
整理得：2t²-15t+18=0，
即（2t-3）（t-6）=0，
解得：t=1.5或t=6（舍），
∴當t=1.5時，△EFB∽△FDC．

點評 本題綜合考查了和相似三角形有關的問題，用到的知識點有矩形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質、一元二次方程的運用以及相似三角形的判定和性質，特別是（3）小問得到關于t的一元二次方程是解題關鍵．