Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點，點A在x軸的負半軸，點B在x軸的正半軸，與y軸交于點C，且CO=2AO，CO=BO，AB=3，則下列判斷中正確的是（　　）

A．此拋物線的解析式為y=x²+x﹣2

B．當x＞0時，y隨著x的增大而增大

C．在此拋物線上的某點M，使△MAB的面積等于5，這樣的點共有三個

D．此拋物線與直線y=﹣只有一個交點

　

Answer 1

D【考點】拋物線與x軸的交點．

【分析】先確定A、B點的坐標，則可利用交點式求出拋物線解析式，于是可對A選項進行判斷；根據二次函數的性質對B選項進行判斷；設M（t，t²﹣t﹣2），根據三角形面積公式得到×3×|t²﹣t﹣2|=5，再把方程化為t²﹣t﹣2=或t²﹣t﹣2=﹣，然后通過解兩個方程確定t的值，從而可對C選項進行判斷；通過解方程x²﹣x﹣2=﹣可對D選項進行判斷．

【解答】解：∵CO=2AO，CO=BO，AB=3，

∴OA=1，OB=2，

∴A（﹣1.0），B（2，0），

∴拋物線解析式為y=（x+1）（x﹣2），即y=x²﹣x﹣2，所以A選項錯誤；

∵拋物線的對稱軸為直線x=，

∴當x＞時，y隨著x的增大而增大，所以B選項錯誤；

設M（t，t²﹣t﹣2），

當△MAB的面積等于5，則×3×|t²﹣t﹣2|=5，

∴t²﹣t﹣2=或t²﹣t﹣2=﹣，

∵方程t²﹣t﹣2=有兩個不等實數解，而方程或t²﹣t﹣2=﹣沒有實數解，

∴滿足條件的M點有2個，所以C選項錯誤；

當y=﹣時，x²﹣x﹣2=﹣，解得x₁=x₂=

∴拋物線與直線y=﹣只有一個交點，所以D選項正確．

故選D．

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了根的判別式和根與系數的關系．對于二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0），△=b²﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數：△=b²﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．