Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?ABCD的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-6，9），B（0，9），C（3，0），D（-3，0），拋物線y=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）過A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為M．

（1）若拋物線過點(diǎn)C，求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點(diǎn)M落在△ACD的內(nèi)部（包括邊界），求a的取值范圍；
（3）若a＜0，連結(jié)CM交線段AB于點(diǎn)Q（Q不與點(diǎn)B重合），連接DM交線段AB于點(diǎn)P，設(shè)S₁=S_△ADP+S_△CBQ，S₂=S_△MPQ，試判斷S₁與S₂的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得到關(guān)于a、b、c的三元一次方程組，從而可解得a、b、c的值，從而可求得拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)相等，因此拋物線的對稱軸為x=-3，連接AC，交x=-3與點(diǎn)E，先求得AC的解析式，然后求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，由點(diǎn)M在△ACD的內(nèi)部，從而可知點(diǎn)M在線段ED上，然后求得經(jīng)過點(diǎn)A、B、D和點(diǎn)A、B、E的解析式，從而可求得a的范圍；
（3）先根據(jù)題意畫出圖形，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時，可證明△ADP≌△PBM，由于點(diǎn)Q與點(diǎn)B不重合，故此△ADP的面積＞△PBM的面積，從而可知判斷出S₁與S₂的大小關(guān)系．

解答 解：（1）將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{36a-6b+c=9}\\{c=9}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{1}{3}$，b=-2，c=9．
將a=-$\frac{1}{3}$，b=-2，c=9代入得y=-$\frac{1}{3}{x}^{2}$-2x+9．
（2）如圖1所示：連接AC交直線x=-3與點(diǎn)E．

∵點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)相等，
∴點(diǎn)M在直線x=-3上．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=9}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=3．
將k=-1，b=3代入得：y=-x+3．
∵將x=-3代入得；y=-（-3）+3=6．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-3，6）．
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、B、E三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x+3）²+6，將x=0，y=9代入得：9a+6=9．
解得：a=$\frac{1}{3}$．
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x+3）²，將x=0，y=9代入得：9a=9．
解得：a=1．
∴$\frac{1}{3}$≤a≤1．
（3）如圖2所示：當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時．

∵DM為拋物線的對稱軸，
∴DM是AB的垂直平分線．
∴AP=PB．
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴∠A=∠PBM．
在△APD和△BPM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠PBM}\\{AP=BP}\\{∠APD=∠BPM}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△BPM．
∴S_△APD=S_△PMB．
∵點(diǎn)Q在AB上且與點(diǎn)B不重合，
∴PQ＜PB．
∴S_△APD＞S_△PMB．
∴S_△ADP+S_△CBQ＞S_△MPQ．
∴S₁＞S₂．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定，求得經(jīng)過A、B、E三點(diǎn)的拋物線的解析式和經(jīng)過點(diǎn)A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式，從而確定出a的取值范圍是解題的關(guān)鍵．