Question

如圖，直線AD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x-1，與拋物線交于點(diǎn)A（在x軸上）、點(diǎn)D，拋物線與x軸另一交點(diǎn)為B（3，0），拋物線與y軸交點(diǎn)C（0，-3），
（1）求拋物線的解析式；
（2）P是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，求線段PE長度的最大值；
（3）若點(diǎn)F是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)G是直線AD與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，在線段AD上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形GFEP為平行四邊形；
（4）點(diǎn)H拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使A、D、H、Q這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出所有滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）令y=0，則-x-1=0，
解得x=-1，
所以，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
∵B（3，0），C（0，-3）在拋物線上，
∴，
解得，
所以，拋物線解析式為y=x²-2x-3；

（2）∵P是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)P（x，-x-1），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），
PE=（-x-1）-（x²-2x-3），
=-x-1-x²+2x+3，
=-x²+x+2，
=-（x-）²+，
聯(lián)立，
解得，，
所以，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-3），
∵P是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴-1＜x＜2，
∴當(dāng)x=時(shí)，PE有最大值，最大值為；

（3）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，-4），點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為1，
y=-1-1=-2，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-1，-2），
∴GF=-2-（-4）=-2+4=2，
∵四邊形GFEP為平行四邊形，
∴PE=GF，
∴-x²+x+2=2，
解得x₁=0，x₂=1（舍去），
此時(shí)，y=-1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-1），
故，存在點(diǎn)P（0，-1），使得四邊形GFEP為平行四邊形；

（4）存在．理由如下：
①當(dāng)點(diǎn)H在x軸下方時(shí)，∵點(diǎn)Q在x軸上，
∴HD∥AQ，
∴點(diǎn)H的縱坐標(biāo)與點(diǎn)D相同，是-3，
此時(shí)，x²-2x-3=-3，
整理得，x²-2x=0，
解得x₁=0，x₂=2（舍去），
∴HD=2-0=2，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），
-1-2=-3，-1+2=1，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-3，0）或（1，0）；
②當(dāng)點(diǎn)H在x軸上方時(shí)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)稱性，點(diǎn)H到AQ的距離等于點(diǎn)D到AQ的距離，
∵點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為-3，
∴點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為3，
∴x²-2x-3=3，
整理得，x²-2x-6=0，
解得x₁=1-，x₂=1+，
∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，
2-（-1）=2+1=3，
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，1-+3=4-，1++3=4+，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4-，0）或（4+，0），
綜上所述，存在點(diǎn)Q（-3，0）或（1，0）或（4-，0）或（4+，0），使A、D、H、Q這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
分析：（1）先根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)直線解析式表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用拋物線解析式表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再用點(diǎn)P的縱坐標(biāo)減去點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，整理即可得到PE的表達(dá)式，再聯(lián)立直線解析式與拋物線解析式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）把拋物線的解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，然后求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，并利用對(duì)稱軸根據(jù)點(diǎn)P在直線上求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等列式解方程即可判斷并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）①當(dāng)點(diǎn)H在x軸下方時(shí)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，可得點(diǎn)H的縱坐標(biāo)與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相等，然后代入拋物線解析式求出點(diǎn)H的橫坐標(biāo)，再求出HD的長度，然后分點(diǎn)Q在點(diǎn)A的左邊與右邊兩種情況求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)H在x軸上方時(shí)，AQ只能是平行四邊形的對(duì)角線，根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)得到點(diǎn)H的縱坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式求出點(diǎn)H的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)表示的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離等于點(diǎn)D的橫坐標(biāo)表示的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離相等求解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對(duì)稱性，二次函數(shù)的最值問題，以及平行四邊形的性質(zhì)，（4）要注意根據(jù)點(diǎn)H的位置的不同分情況討論．