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        1. 【題目】如圖,已知點A的坐標是(﹣1,0),點B的坐標是(90),以AB為直徑作⊙O′,交y軸的負半軸于點C,連接AC、BC,過A、BC三點作拋物線.

          1)求點C的坐標及拋物線的解析式;

          2)點EAC延長線上一點,∠BCE的平分線CD⊙O′于點D,求點D的坐標;并直接寫出直線BC、直線BD的解析式;

          3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在點P,使得∠PDB=∠CBD,若存在,請求出點P的坐標,若不存在,請說明理由.

          【答案】1C0,﹣3),y=x2x﹣3.(2D4,﹣5).直線BD的解析式為y=x﹣9.直線BC的解析式為:y=x﹣3.(3)存在,符合條件的點P有兩個:P1,),P21425).

          【解析】

          試題(1)已知了A、B兩點的坐標即可得出OAOB的長,在直角三角形ACB中由于OC⊥AB,因此可用射影定理求出OC的長,即可得出C點的坐標.然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;

          2)本題的關(guān)鍵是得出D點的坐標,CD平分∠BCE,如果連接O′D,那么根據(jù)圓周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐標為(4,﹣5).根據(jù)B、D兩點的坐標即可用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式;

          3)本題要分兩種情況進行討論:

          DDP∥BC,交D點右側(cè)的拋物線于P,此時∠PDB=∠CBD,可先用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式,然后根據(jù)BCDP平行,那么直線DP的斜率與直線BC的斜率相同,因此可根據(jù)D的坐標求出DP的解析式,然后聯(lián)立直線DP的解析式和拋物線的解析式即可求出交點坐標,然后將不合題意的舍去即可得出符合條件的P點.

          的思路類似,先作與∠CBD相等的角:在O′B上取一點N,使BN=BM.可通過證△NBD≌△MDB,得出∠NDB=∠CBD,然后同的方法一樣,先求直線DN的解析式,進而可求出其與拋物線的交點即P點的坐標.綜上所述可求出符合條件的P點的值.

          解:(1AB為直徑作⊙O′,交y軸的負半軸于點C,

          ∴∠OCA+∠OCB=90°

          ∵∠OCB+∠OBC=90°,

          ∴∠OCA=∠OBC

          ∵∠AOC=∠COB=90°,

          ∴△AOC∽△COB

          ∵A﹣1,0),B9,0),

          ,

          解得OC=3(負值舍去).

          ∴C0﹣3),

          故設拋物線解析式為y=ax+1)(x﹣9),

          ∴﹣3=a0+1)(0﹣9),解得a=,

          二次函數(shù)的解析式為y=x+1)(x﹣9),

          y=x2x﹣3

          2∵ABO′的直徑,且A﹣1,0),B9,0),

          ∴OO′=4,O′4,0),

          EAC延長線上一點,∠BCE的平分線CD⊙O′于點D

          ∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°,

          連接O′DBC于點M,

          ∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°,OO′=4O′D=AB=5

          ∴O′D⊥x

          ∴D4,﹣5).

          設直線BD的解析式為y=kx+b,

          ,

          解得

          直線BD的解析式為y=x﹣9

          ∵C0,﹣3),

          設直線BC的解析式為:y=ax+b,

          解得:,

          直線BC的解析式為:y=x﹣3

          3)假設在拋物線上存在點P,使得∠PDB=∠CBD,

          解法一:設射線DP⊙O′于點Q,則=

          分兩種情況(如圖所示):

          ①∵O′4,0),D4,﹣5),B9,0),C0﹣3).

          把點C、D繞點O′逆時針旋轉(zhuǎn)90°,使點D與點B重合,則點C與點Q1重合,

          因此,點Q17﹣4)符合=,

          ∵D4,﹣5),Q17,﹣4),

          用待定系數(shù)法可求出直線DQ1解析式為y=x﹣

          解方程組

          P1坐標為(,),坐標為(,)不符合題意,舍去.

          ②∵Q17﹣4),

          Q1關(guān)于x軸對稱的點的坐標為Q27,4)也符合=

          ∵D4﹣5),Q27,4).

          用待定系數(shù)法可求出直線DQ2解析式為y=3x﹣17

          解方程組

          P2坐標為(14,25),坐標為(3,﹣8)不符合題意,舍去.

          符合條件的點P有兩個:P1),P21425).

          解法二:分兩種情況(如圖所示):

          DP1∥CB時,能使∠PDB=∠CBD

          ∵B90),C0﹣3).

          用待定系數(shù)法可求出直線BC解析式為y=x﹣3

          ∵DP1∥CB,

          設直線DP1的解析式為y=x+n

          D4,﹣5)代入可求n=﹣,

          直線DP1解析式為y=x﹣

          解方程組

          P1坐標為()或(,)(不符合題意舍去).

          在線段O′B上取一點N,使BN=DM時,得△NBD≌△MDBSAS),

          ∴∠NDB=∠CBD

          知,直線BC解析式為y=x﹣3

          x=4,得y=﹣,

          ∴M4,),

          ∴O′N=O′M=,

          ∴N,0),

          ∵D4﹣5),

          直線DN解析式為y=3x﹣17

          解方程組

          ,

          P2坐標為(1425),坐標為(3﹣8)不符合題意,舍去.

          符合條件的點P有兩個:P1),P21425).

          解法三:分兩種情況(如圖所示):

          求點P1坐標同解法二.

          C點作BD的平行線,交圓O′G,

          此時,∠GDB=∠GCB=∠CBD

          由(2)題知直線BD的解析式為y=x﹣9,

          ∵C0,﹣3

          可求得CG的解析式為y=x﹣3,

          Gmm﹣3),作GH⊥x軸交于x軸與H

          連接O′G,在Rt△O′GH中,利用勾股定理可得,m=7,

          D4﹣5)與G7,4)可得,

          DG的解析式為y=3x﹣17,

          解方程組

          P2坐標為(14,25),坐標為(3,﹣8)不符合題意舍去.

          符合條件的點P有兩個:P1,),P214,25).

          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】閱讀下列材料

          我們通過下列步驟估計方程2x2+x﹣2=0的根的所在的范圍.

          第一步:畫出函數(shù)y=2x2+x﹣2的圖象,發(fā)現(xiàn)圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且與x軸的一個

          交點的橫坐標在0,1之間.

          第二步:因為當x=0時,y=﹣2<0;當x=1時,y=1>0.

          所以可確定方程2x2+x﹣2=0的一個根x1所在的范圍是0<x1<1.

          第三步:通過取01的平均數(shù)縮小x1所在的范圍;

          x=,因為當x=時,y<0,

          又因為當x=1時,y>0,

          所以<x1<1.

          (1)請仿照第二步,通過運算,驗證2x2+x﹣2=0的另一個根x2所在范圍是﹣2<x2<﹣1;

          (2)在﹣2<x2<﹣1的基礎(chǔ)上,重復應用第三步中取平均數(shù)的方法,將x2所在范圍縮小至m<x2<n,使得n﹣m≤

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】如圖,梯形ABCD中,ABCD,點F在BC上,連DF與AB的延長線交于點G.

          (1)求證:CDF∽△BGF;

          (2)當點F是BC的中點時,過F作EFCD交AD于點E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的長.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】如圖,要證明平行四邊形ABCD為正方形,那么我們需要在四邊形ABCD是平行四邊形的基礎(chǔ)上,進一步證明( )

          A.AB=ADACBDB.AB=ADAC=BDC.A=∠BAC=BDD.ACBD互相垂直平分

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】如圖,在ABC中,AB=AC,EAC上,經(jīng)過A,B,E三點的圓OBC于點D,且D點是弧BE的中點,

          (1)求證AB是圓的直徑;

          (2)AB=8,C=60°,求陰影部分的面積;

          (3)當∠A為銳角時,試說明∠A與∠CBE的關(guān)系.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】閱讀下列材料:有這樣一個問題:關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的且非零的實數(shù)根探究,,滿足的條件.

          小明根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗,認為可以從二次函數(shù)的角度看一元二次方程,下面是小明的探究過程:①設一元二次方程對應的二次函數(shù)為;

          ②借助二次函數(shù)圖象,可以得到相應的一元二次中,,滿足的條件,列表如下:

          方程根的幾何意義:

          方程兩根的情況

          對應的二次函數(shù)的大致圖象

          ,滿足的條件

          方程有兩個不相等的負實根

          ____________

          方程有兩個不相等的正實根

          ____________

          ____________

          1)參考小明的做法,把上述表格補充完整;

          2)若一元二次方程有一個負實根,一個正實根,且負實根大于-1,求實數(shù)的取值范圍.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】某超市銷售一種文具,進價為5元/件.售價為6元/件時,當天的銷售量為100件.在銷售過程中發(fā)現(xiàn):售價每上漲0.5元,當天的銷售量就減少5件.設當天銷售單價統(tǒng)一為元/件(,且是按0.5元的倍數(shù)上漲),當天銷售利潤為元.

          1)求的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍);

          2)要使當天銷售利潤不低于240元,求當天銷售單價所在的范圍;

          3)若每件文具的利潤不超過,要想當天獲得利潤最大,每件文具售價為多少元?并求出最大利潤.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】如圖,2×2網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為1)中有A,B,C,D,E,F,G,H,O九個格點.拋物線l的解析式為n為整數(shù))l經(jīng)過這九個格點中的三個,則滿足這樣條件的拋物線條數(shù)為_________

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】在平面直角坐標系xoy中, 一塊含60°角的三角板作如圖擺放,斜邊 ABx軸上,直角頂點Cy軸正半軸上,已知點A(-1,0).

          1)請直接寫出點B、C的坐標:B )、C , );并求經(jīng)過A、B、C三點的拋物

          線解析式;

          2)現(xiàn)有與上述三角板完全一樣的三角板DEF(其中∠EDF=90°,∠DEF=60°),把頂點E放在線段

          AB上(點E是不與A、B兩點重合的動點),并使ED所在直線經(jīng)過點C 此時,EF所在直線與(1)中的拋物線交于第一象限的點M

          ①設AE=x,當x為何值時,OCE∽△OBC;

          ②在①的條件下探究:拋物線的對稱軸上是否存在點P使PEM是等腰三角形,若存在,請求點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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