Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接， ，是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

（1）求拋物線 的解析式；

（2）求面積的最大值；

（3）① 試探究在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形? 若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

② 請直接寫出當(dāng)等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo) ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①點(diǎn)的坐標(biāo)為或，②點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解析】

（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)和可得點(diǎn)C坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法求出拋物線表達(dá)式；

（2）求出AC和BC的表達(dá)式，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，得出當(dāng)最大時(shí)，最大，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，將PQ用關(guān)于t的式子表示出來，求出PQ的最大值即可得到的最大值；

（3）①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，分AC=AQ，AC=CQ兩種情況，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)Q坐標(biāo)即可；

②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，證明△AOC∽△EMP，表示出EM和QM，建立方程，解之即可.

解：（1）拋物線與軸交于點(diǎn)，且 ，

∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

∴．

∴，

解得，

∴ 拋物線的解析式為；

（2） ∵ 點(diǎn)，

∴ 直線的解析式為．

∵點(diǎn)，

∴ 直線的解析式為，

∵軸，

∴，

如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn) ，設(shè)，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴ 當(dāng)最大時(shí)，最大 ，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，

則 ，

∴，

當(dāng)時(shí)， 最大值為，

∴，

∴；

（3）① 存在，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則．

如圖，當(dāng)時(shí)，有，

解得 =0 (舍)，

=1 ，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；

如圖，當(dāng)時(shí)，

，有

解得，（舍），，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

綜上，以 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；

②當(dāng)△EMQ為等腰直角三角形時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(，)，

∵PE∥AC，

∴可得△AOC∽△EMP，

則,

∴EM=，

∵EM=QM，

∴=4-n，

解得：n=1或n=4（舍），

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.