Question

如圖①，△ABC中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，BC∥x軸，AB平分∠CAO．二次函數(shù)y=ax²-5ax+4的圖象經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)．
（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（0，4）

，二次函數(shù)y=ax²-5ax+4的圖象的對(duì)稱軸為

直線x=

5

2

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

（5，4）

；
（2）求a的值，然后寫(xiě)出二次函數(shù)的關(guān)系式；
（3）正方形EFGH的頂點(diǎn)E在線段AB上，頂點(diǎn)F在對(duì)稱軸右側(cè)的圖象上，邊GH在x軸上，求正方形EFGH的邊長(zhǎng)；
（4）請(qǐng)?jiān)趫D②中用尺規(guī)作圖的方式探究函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)?jiān)趫D②中作出所有滿足條件的點(diǎn)P（保留作圖痕跡）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用x=0求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用對(duì)稱軸公式求出對(duì)稱軸，再利用二次函數(shù)對(duì)稱性得出B點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）利用平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理得出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式；
（3）不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為：m（m＞0），則F（-3+3m，m），代入拋物線求出正方形的邊長(zhǎng)即可；
（4）利用等腰三角形的性質(zhì)作出線段AC的垂直平分線以及利用AC=A得出符合題意的圖形即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²-5ax+4，
∴當(dāng)x=0，則y=4，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，4），
∵二次函數(shù)y=ax²-5ax+4的圖象對(duì)稱軸為：直線x=-

b

2a

=

5

2

，點(diǎn)C在y軸上，BC∥x軸，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（5，4），
故答案為：（0，4），直線x=

5

2

，（5，4）；

（2）∵BC∥x軸，AB平分∠CAO，
∴∠CAB=∠BAO，∠CBA=∠CAB，
∴∠CAB=∠CBA，
∴AC=BC，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（5，4），C（0，4），
∴AC=BC=5，CO=4，
∴AO=3，即A（-3，0），
代入二次函數(shù)解析式得：
9a+15a+4=0，
解得：a=-

1

6

，
∴二次函數(shù)解析式為：y=-

1

6

x²+

5

6

x+4；

（3）如圖①所示：
不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為：m（m＞0），則F（-3+3m，m），
代入拋物線得：m=-

1

6

（-3+3m）²+

5

6

（-3+3m）+4，
整理得：m²-3m=0，
解得：m₁=0，m₂=3，
∴正方形EFGH的邊長(zhǎng)為：3；

（4）如圖②所示：共有3個(gè)點(diǎn)符合題意．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性以及等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)以及一元二次方程的解法等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合以及二次函數(shù)對(duì)稱性得出B點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．