Question

【題目】如圖，直線分別與軸、軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)．

（1）求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）點(diǎn)是直線上方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作軸交于點(diǎn)，求周長的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）

【解析】

（1）由直線解析式可求得B、C坐標(biāo)，在Rt△BOC中由三角函數(shù)定義可求得∠OCB＝60°，則在Rt△AOC中可得∠ACO＝30°，利用三角函數(shù)的定義可求得OA，則可求得A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（3）由平行線的性質(zhì)可知∠MDH＝∠BCO＝60°，在Rt△DMH中利用三角函數(shù)的定義可得到DH、MH與DM的關(guān)系，可設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，則可表示出DM的長，從而可表示出△DMH的周長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．

解：（1）直線分別與軸、軸交于兩點(diǎn)，

當(dāng)x=0時(shí)，y=，當(dāng)y=0時(shí)，x=3，

，，

，，

，

，

，即，解得，

；

（2）拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，將與代入得：

，解得，

拋物線解析式為；

（3）軸，，

，則，

，，

的周長，

當(dāng)有最大值時(shí)，其周長有最大值，

點(diǎn)是直線上方拋物線上的一點(diǎn)，

設(shè)，則，

，

當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，

此時(shí)，

即周長的最大值為．