Question

如圖，直線y=hx+d與x軸和y軸分別相交于點A（-1，0），B（0，1），與雙曲線y=

t

x

在第一象限相交于點C；以AC為斜邊、∠CAO為內角的直角三角形，與以CO為對角線、一邊在x軸上的矩形面積相等；點C，P在以B為頂點的拋物線y=mx²+nx+k上；直線y=hx+d、雙曲線y=

t

x

和拋物線y=ax²+bx+c同時經過兩個不同的點C，D．
（1）確定t的值；
（2）確定m，n，k的值；
（3）若無論a，b，c取何值，拋物線y=ax²+bx+c都不經過點P，請確定P的坐標．

Answer 1

分析：（1）可設C點的坐標為（x₁，x₂），那么矩形的面積應該是x₁y₁=t；可用C點坐標表示出以AC為斜邊、∠CAO為內角的直角三角形的面積，聯立兩式即可求出C點坐標及t的值；
（2）將頂點B以及點C的坐標代入拋物線y=mx²+nx+k中，即可求出待定系數的值；
（3）在（1）（2）中已經求得了雙曲線及直線的解析式，聯立兩式即可求出點C、D的坐標，將點D的坐標代入拋物線y=ax²+bx+c中，可求出a、c以及a、b的關系式，可用a替換掉b、c，然后根據拋物線y=mx²+nx+k的解析式來設P點的坐標，若P點不在拋物線y=ax²+bx+c上，那么將P點坐標代入上面的解析式后左右兩邊不相等，可據此來求P點的坐標．

解答：解：（1）直線過點A，B，則0=-h+d和1=d，即y=x+1． （1分）
雙曲線y=

t

x

經過點C（x₁，y₁），x₁y₁=t．
以AC為斜邊，∠CAO為內角的直角三角形的面積為

1

2

×y₁×（1+x₁）；
以CO為對角線的矩形面積為x₁y₁．

1

2

×y₁×（1+x₁）=x₁y₁，
因為x₁，y₁都不等于0，
故得x₁=1，
所以y₁=2．
故有，2=

t

1

，
故t=2×1=2，即t=2． （2分）

（2）∵B是拋物線y=mx²+nx+k的頂點，
∴有-

n

2m

=0，-

n2-4mk

4m

=1，
得到n=0，k=1． （3分）
∵C是拋物線y=mx²+nx+k上的點，
∴有2=m×1²+1，得m=1． （4分）
故m=1，n=0，k=1．

（3）設點P的橫坐標為p，則縱坐標為p²+1．
∵拋物線y=ax²+bx+c經過兩個不同的點C，D，
其中求得D點坐標為（-2，-1）． （5分）
解法一：
故2=a+b+c，
-1=4a-2b+c．
解之得，b=a+1，c=1-2a． （6分）
（說明：如用b表示a，c，或用c表示a，b，均可，后續(xù)參照得分）
∴y=ax²+（a+1）x+（1-2a）
于是：p²+1≠ap²+（a+1）p+（1-2a） （7分）
變形，得p²-p≠（p²+p-2）a，
∴無論a取什么值都有p²-p≠（p²+p-2）a． （8分）
（或者，令p²-p=（p²+p-2）a （7分）
∵拋物線y=ax²+bx+c不經過P點，
∴此方程無解，或有解但不合題意（8分）
故∵a≠0，
∴①

p2-p=0 p2+p-2≠0

解之p=0，p=1，并且p≠1，p≠-2．得p=0 （9分）
∴符合題意的P點為（0，1）（10分）
②

p2-p≠0 p2+p-2=0

，
解之p=1，p=-2，并且p≠0，p≠1．
得p=-2． （11分）
符合題意的P點為（-2，5）． （12分）
∴符合題意的P點有兩個（0，1）和（-2，5）．
解法二：則有（a-1）p²+（a+1）p-2a=0 （7分）
即〔（a-1）p+2a〕（p-1）=0
有p-1=0時，得p=1，
即C點（1，2）在y=ax²+bx+c上． （8分）
或（a-1）p+2a=0，即（p+2）a=p
當p=0時a=0與a≠0矛盾（9分）
得點P（0，1）（10分）
或者p=-2時，無解（11分）
得點P（-2，5）（12分）
故對任意a，b，c，拋物線y=ax²+bx+c都不經過（0，1）和（-2，5）
解法三：如圖，拋物線y=ax²+bx+c不經過直線CD上除C，D外的其他點；
（只經過直線CD上的C，D點）． （6分）
由

y=x2+1 y=x+1

（7分）
解得交點為C（1，2），B（0，1）；
故符合題意的點P為（0，1）． （8分）
拋物線y=ax²+bx+c不經過直線x=-2上除D外的其他點． （9分）
由

y=x2+1 x=-2

（10分）
解得交點P為（-2，5）．（11分）
拋物線y=ax²+bx+c不經過直線x=1上除C外的其他點，
而

y=x2+1 x=1

解得交點為C（1，2）． （12分）
故符合條件的點P為（0，1）或（-2，5）．
（說明：1．僅由圖形看出一個點的坐標給（1分），二個看出來給（2分）．2，解題過程敘述基本清楚即可．）

點評：此題是一次函數、二次函數的綜合題，主要考查了函數解析式的確定、圖形面積的求法、函數圖象交點等知識，綜合性強，難度很大．