Question

【題目】如圖，以直角三角形AOC的直角頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，以OC、OA所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A（0，a），C（b，0）滿足．D為線段AC的中點(diǎn)．在平面直角坐標(biāo)系中，以任意兩點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，y2）為端點(diǎn)的線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，．

（1）則A點(diǎn)的坐標(biāo)為　 　；點(diǎn)C的坐標(biāo)為　 　．D點(diǎn)的坐標(biāo)為　 　．

（2）已知坐標(biāo)軸上有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，P點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)沿x軸負(fù)方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度勻速移動(dòng)，Q點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)以2個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度沿y軸正方向移動(dòng)，點(diǎn)Q到達(dá)A點(diǎn)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．問：是否存在這樣的t，使S△ODP＝S△ODQ，若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）點(diǎn)F是線段AC上一點(diǎn)，滿足∠FOC＝∠FCO，點(diǎn)G是第二象限中一點(diǎn)，連OG，使得∠AOG＝∠AOF．點(diǎn)E是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連CE交OF于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上運(yùn)動(dòng)的過程中，的值是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出它的值；若變化，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（0，4），（2，0），（1，2）；（2）存在，t＝1；（3）的值不變，其值為2．

【解析】

（1）根據(jù)絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，求得a，b的值，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出答案；

（2）先得出CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，再根據(jù)S△ODP＝S△ODQ，列出關(guān)于t的方程，求得t的值即可；

（3）過H點(diǎn)作AC的平行線，交x軸于P，先判定OG∥AC，再根據(jù)角的和差關(guān)系以及平行線的性質(zhì)，得出∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，最后代入進(jìn)行計(jì)算即可．

解：（1）∵．

∴a﹣2b＝0，b﹣2＝0，

解得a＝4，b＝2，

∴A（0，4），C（2，0）；

∴x＝＝1，y＝＝2，

∴D（1，2）．

故答案為（0，4），（2，0），（1，2）．

（2）如圖1中，

由條件可知：P點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)間為2秒，Q點(diǎn)從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)間為2秒，

∴0＜t≤2時(shí)，點(diǎn)Q在線段AO上，

即 CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，

∴S△DOP＝OPyD＝（2﹣t）×2＝2﹣t，S△DOQ＝OQxD＝×2t×1＝t，

∵S△ODP＝S△ODQ，

∴2﹣t＝t，

∴t＝1；

（3）的值不變，其值為2．理由如下：如圖2中，

∵∠2+∠3＝90°，

又∵∠1＝∠2，∠3＝∠FCO，

∴∠GOC+∠ACO＝180°，

∴OG∥AC，

∴∠1＝∠CAO，

∴∠OEC＝∠CAO+∠4＝∠1+∠4，

如圖，過H點(diǎn)作AC的平行線，交x軸于P，則∠4＝∠PHC，PH∥OG，

∴∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，

∴∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，

∴＝，

＝，

＝2．