Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且BE=CF，連接BF、DE交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)ED到H使DH=BM，連接AM，AH，則以下四個(gè)結(jié)論：
①△BDF≌△DCE；②∠BMD=120°；③△AMH是等邊三角形；④S四邊形ABMD= AM2 ．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】D
【解析】解：在菱形ABCD中，
∵AB=BD，
∴AB=BD=AD，
∴△ABD是等邊三角形，
∴根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠BDF=∠C=60°，
∵BE=CF，
∴BC﹣BE=CD﹣CF，
即CE=DF，
在△BDF和△DCE中， ，
∴△BDF≌△DCE（SAS），故①小題正確；
∴∠DBF=∠EDC，
∵∠DMF=∠DBF+∠BDE=∠EDC+∠BDE=∠BDC=60°，
∴∠BMD=180°﹣∠DMF=180°﹣60°=120°，故②小題正確；
∵∠DEB=∠EDC+∠C=∠EDC+60°，∠ABM=∠ABD+∠DBF=∠DBF+60°，
∴∠DEB=∠ABM，
又∵AD∥BC，
∴∠ADH=∠DEB，
∴∠ADH=∠ABM，
在△ABM和△ADH中， ，
∴△ABM≌△ADH（SAS），
∴AH=AM，∠BAM=∠DAH，
∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=∠MAD+∠BAM=∠BAD=60°，
∴△AMH是等邊三角形，故③小題正確；
∵△ABM≌△ADH，
∴△AMH的面積等于四邊形ABMD的面積，
又∵△AMH的面積= AM AM= AM2 ，
∴S四邊形ABMD= AM2 ， 故④小題正確，
綜上所述，正確的是①②③④共4個(gè)．
故選D．

【考點(diǎn)精析】利用菱形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半．