Question

【題目】如圖，在△AOB中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，直線(xiàn)y=-x+b分別交OA、AB于點(diǎn)C、D，且ΔBOD的面積是4.

(1)求直線(xiàn)AO的解析式；

(2)求直線(xiàn)CD的解析式；

(3)若點(diǎn)M是x軸上的點(diǎn)，且使得點(diǎn)M到點(diǎn)A和點(diǎn)C的距離之和最小，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）y=2x； （2）；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）.

【解析】

（1）先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后設(shè)直線(xiàn)AO的解析式為y=kx，用待定系數(shù)法求解即可；

（2）由面積法求出BD的長(zhǎng)，從而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后帶入y=-x+b求解即可；

（3）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，此時(shí)M到A、C的距離之和最小，求出直線(xiàn)AE的解析式，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

（1）OB=4，AB=8，∠ABO=90°，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，8）,

設(shè)直線(xiàn)AO的解析式為y=kx，則4k=8 ,

解得k=2，即直線(xiàn)AO的解析式為y=2x；

（2）OB=4，∠ABO=90°，=4，

∴DB=2，∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）,

把D（4，2）代入得：=6,

∴直線(xiàn)CD的解析式為；

（3）由直線(xiàn)與直線(xiàn)組成方程組為,

解得：，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4）

如圖，設(shè)點(diǎn)M使得MC+MA最小，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，-4)，連結(jié)MC、ME、AE，可知MC=ME，所以M到A、C的距離之和MA+MC=MA+ME，又MA+ME大于等于AE，所以當(dāng)MA+ME=AE時(shí)，M到A、C的距離之和最小，此時(shí)A、M、E成一條直線(xiàn)，M點(diǎn)是直線(xiàn)AE與在x軸的交點(diǎn).

所以設(shè)直線(xiàn)AE的解析式為，把A（4，8）和E（2，-4）代入得：

，

解得： ,

所以直線(xiàn)AE的解析式為，令得,

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）.