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        1. 【題目】已知正方形ABCD中,E為對角線BD上一點(diǎn),過E點(diǎn)作EFBD交BC于F,連接DF,G為DF中點(diǎn),連接EG,CG.

          (1)求證:EG=CG;

          (2)將圖①中BEF繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)45°,如圖②所示,取DF中點(diǎn)G,連接EG,CG.問(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由;

          (3)將圖①中BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度,如圖③所示,再連接相應(yīng)的線段,問(1)中的結(jié)論是否仍然成立?通過觀察你還能得出什么結(jié)論(均不要求證明).

          【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析

          【解析】

          試題分析:(1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,可證出CG=EG.

          (2)結(jié)論仍然成立,連接AG,過G點(diǎn)作MNAD于M,與EF的延長線交于N點(diǎn);再證明DAG≌△DCG,得出AG=CG;再證出DMG≌△FNG,得到MG=NG;再證明AMG≌△ENG,得出AG=EG;最后證出CG=EG.

          (3)結(jié)論依然成立.還知道EGCG.

          (1)證明:四邊形ABCD是正方形,

          ∴∠DCF=90°,

          在RtFCD中,

          G為DF的中點(diǎn),

          CG=FD,

          同理,在RtDEF中,

          EG=FD,

          CG=EG.

          (2)解:(1)中結(jié)論仍然成立,即EG=CG.

          證法一:連接AG,過G點(diǎn)作MNAD于M,與EF的延長線交于N點(diǎn).

          DAG與DCG中,

          AD=CD,ADG=CDG,DG=DG,

          ∴△DAG≌△DCG(SAS),

          AG=CG;

          DMG與FNG中,

          ∵∠DGM=FGN,F(xiàn)G=DG,MDG=NFG,

          ∴△DMG≌△FNG(ASA),

          MG=NG;

          ∵∠EAM=AEN=AMN=90°,

          四邊形AENM是矩形,

          在矩形AENM中,AM=EN,

          AMG與ENG中,

          AM=EN,AMG=ENG,MG=NG,

          ∴△AMG≌△ENG(SAS),

          AG=EG,

          EG=CG.

          證法二:延長CG至M,使MG=CG,

          連接MF,ME,EC,

          DCG與FMG中,

          FG=DG,MGF=CGD,MG=CG,

          ∴△DCG≌△FMG.

          MF=CD,FMG=DCG,

          MFCDAB,

          EFMF.

          在RtMFE與RtCBE中,

          MF=CB,MFE=EBC,EF=BE,

          ∴△MFE≌△CBE

          ∴∠MEF=CEB.

          ∴∠MEC=MEF+FEC=CEB+CEF=90°,

          ∴△MEC為直角三角形.

          MG=CG,

          EG=MC,

          EG=CG.

          (3)解:(1)中的結(jié)論仍然成立.理由如下:

          過F作CD的平行線并延長CG交于M點(diǎn),連接EM、EC,過F作FN垂直于AB于N.

          由于G為FD中點(diǎn),易證CDG≌△MFG,得到CD=FM,

          又因為BE=EF,易證EFM=EBC,則EFM≌△EBC,FEM=BEC,EM=EC

          ∵∠FEC+BEC=90°,∴∠FEC+FEM=90°,即MEC=90°,

          ∴△MEC是等腰直角三角形,

          G為CM中點(diǎn),

          EG=CG,EGCG.

          練習(xí)冊系列答案
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