Question

如圖，已知反比例函數(shù)y=

k

x

和一次函數(shù)y=2x-1，其中反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，

1

2

）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如圖，已知點(diǎn)A在第一象限，且同時(shí)在上述兩個(gè)函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將已知點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例解析式中求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（2）聯(lián)立反比例與一次函數(shù)解析式，即可求出A的坐標(biāo)；
（3）存在，分三種情況考慮，以O(shè)為圓心OA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與x軸交于點(diǎn)P₁，P₂；以A為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與x軸交于P₃點(diǎn)；做出線(xiàn)段OA的垂直平分線(xiàn)，與x軸交于P₄點(diǎn)，分別求出坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）將（2，

1

2

）代入反比例解析式得：k=1，
故反比例解析式為y=

1

x

；

（2）聯(lián)立得：

y= 1 x y=2x-1

，
消去y得：2x-1=

1

x

，整理得：2x²-x-1=0，即（2x+1）（x-1）=0，
解得：x=-

1

2

（不合題意，舍去）或x=1，
將x=1代入y=2x-1得：y=1，
則A（1，1）；

（3）存在，分三種情況考慮，以O(shè)為圓心OA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與x軸交于點(diǎn)P₁，P₂，
∵A（1，1），
∴OA=

2

，
∴OP₁=OP₂=

2

，
∴點(diǎn)P₁（-

2

，0），P₂（

2

，0）；
以A為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與x軸交于P₃點(diǎn)，此時(shí)P₃（2，0）；
做出線(xiàn)段OA的垂直平分線(xiàn)，與x軸交于P₄點(diǎn)，此時(shí)P₄（1，0），
綜上，滿(mǎn)足題意的P點(diǎn)坐標(biāo)為（-

2

，0）或（

2

，0）或（2，0）或（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)求法，等腰三角形的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．