Question

【題目】教材呈現(xiàn)：下圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第94頁(yè)的部分內(nèi)容.

線段垂直平分線

我們已知知道線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直一部分線是線段的對(duì)稱軸，如圖直線是線段的垂直平分線，是上任一點(diǎn)，連結(jié)、，將線段與直線對(duì)稱，我們發(fā)現(xiàn)與完全重合，由此都有：線段垂直平分線的性質(zhì)定理，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的距離相等.

已知：如圖，，垂足為點(diǎn)，，點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn).

求證：.

圖中的兩個(gè)直角三角形和，只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證明（請(qǐng)寫出完整的證明過(guò)程）

請(qǐng)根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過(guò)程，定理應(yīng)用.

（1）如圖②，在中，直線、、分別是邊、、的垂直平分線.

求證：直線、、交于點(diǎn).

（2）如圖③，在中，，邊的垂直平分線交于點(diǎn)，邊的垂直平分線交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為_______.

Answer 1

【答案】教材呈現(xiàn)：詳見解析；定理應(yīng)用：（1）詳見解析；（2）6.

【解析】

教材呈現(xiàn)： 得到，從而

定理應(yīng)用：（1）連結(jié)、、．設(shè)直線、交于點(diǎn)．因?yàn)橹本�是邊的垂直平分線，所以 又因直線是邊的垂直平分線， 得到 點(diǎn)在邊的垂直平分線上．得到直線、、交于點(diǎn)． （2）

連接BD，BF，易知AD=DB，BE=EC；又因?yàn)椤?/span>A=∠C=30°，得到∠DBE=60°，所以∠ABD=30°，得到∠BDE=60°，所以△BED為等邊三角形，所以DE=AC=6

教材呈現(xiàn)：

，

又

．

圖① 圖②

定理應(yīng)用：

（1）連結(jié)、、．

設(shè)直線、交于點(diǎn)．

直線是邊的垂直平分線，

又直線是邊的垂直平分線，

點(diǎn)在邊的垂直平分線上．

直線、、交于點(diǎn)．

（2）如圖3，連接BD,BF

由第一問可知，AD=DB，BE=EC，∠A=∠DBA，∠C=∠CBE

∵AB=AC

∴∠A=∠C

∵∠ABC=120°

∴∠A=∠C=30°

∴∠A=∠DBA=∠C=∠CBE=30°

∴∠BDE=∠A+∠ABD=60°，∠DBE=∠ABC-∠ABD-∠EBC=60°

∴△DBE是等邊三角形

∴DB=BE=DE

∴AD=DE=EC

∴DE=AC=6