Question

如圖，直線經過點B（，2），且與x軸交于點A．將拋物線沿x軸作左右平移，記平移后的拋物線為C，其頂點為P．
（1）求∠BAO的度數；
（2）直線AB交拋物線的右側于點D，問點B是AD中點嗎？試說明理由；
（3）拋物線C與y軸交于點E，與直線AB交于兩點，其中一個交點為F．當線段EF∥x軸時，求平移后的拋物線C對應的函數關系式．

Answer 1

解：（1）設直線與y軸交于點M，
將x=-，y=2代入y=x+b得b=3，
∴y=x+3，
當x=0時，y=3，當y=0時x=-3
∴A（-3，0），M（0，3）；
∴OA=3，OM=3，
∴tan∠BAO==
∴∠BAO=30°．

（2）聯立直線AB和拋物線的解析式，有：
，解得：、
∴D（，）；
已知：A（-3，0）、B（，2），顯然點B不是AD的中點．

（3）設拋物線C的解析式為y=（x-t）²，則P（t，0），E（0，t²），
∵EF∥x軸且F在拋物線C上，根據拋物線的對稱性可知F（2t，t²），
把x=2t，y=t²代入y=x+3
得t+3=t²
解得t₁=-，t₂=3
∴拋物線C的解析式為y=（x+）²或y=（x-3）²．
分析：（1）首先將B點坐標代入直線AB的解析式中，在確定出b值后進而能得出直線AB與x、y軸的交點坐標，若設直線AB與y軸的交點為M，那么在Rt△AOM中，根據OA、OM的長可求出∠OAB的正切值，由此得出∠BAO的度數．
（2）聯立直線AB和拋物線的解析式，在求出點D的坐標后，根據A、B、D三點的坐標來判斷點B是否為AD的中點．
（3）根據“左加右減、上加下減”的平移規(guī)律先設出拋物線C的表達式，即可得出E點的坐標；點E為拋物線C與y軸的交點，點F為直線AB與拋物線C的交點，也可以理解為點E、F都在拋物線C的圖象上，若EF∥x軸，那么點E、F必關于拋物線對稱軸對稱，首先根據點E的坐標和拋物線對稱軸方程表示出點F的坐標，再代入直線AB的解析式中進行求解即可．
點評：此題的難度適中，在（1）題中，求出直線AB的解析式，題目也就解決了大半；（2）題著重考查的是一次函數與二次函數的交點坐標的求法；（3）題中，點E、F關于拋物線對稱軸對稱是不容易想到的地方，此外，二次函數的平移規(guī)律也是需要牢記的內容．