Question

【題目】已知：Rt△ABC的斜邊長為5，斜邊上的高為2，將這個直角三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，使其斜邊AB與x軸重合（其中OA＜OB），直角頂點(diǎn)C落在y軸正半軸上（如圖1）．

（1）求線段OA、OB的長和經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的關(guān)系式．

（2）如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)P（m，n）是該拋物線上的一個動點(diǎn)（其中m＞0，n＞0），連接DP交BC于點(diǎn)E．

①當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

②又連接CD、CP（如圖3），△CDP是否有最大面積？若有，求出△CDP的最大面積和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）①（3，），（，），（，）②當(dāng)m=時(shí)，△CDP的面積最大．此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），S△CDP的最大值是

【解析】試題（1）由Rt△ABC中，CO⊥AB可證△AOC∽△COB，由相似比得OC2=OAOB，設(shè)OA的長為x，則OB=5-x，代入可求OA，OB的長，確定A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)，求拋物線解析式；
（2）根據(jù)△BDE為等腰三角形，分為DE=EB，EB=BD，DE=BD三種情況，分別求E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）作輔助線，將求△CDP的面積問題轉(zhuǎn)化．方法一：如圖1，連接OP，根據(jù)S△CDP=S四邊形CODP-S△COD=S△COP+S△ODP-S△COD，表示△CDP的面積；方法二：過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)F，則S△CDP=S梯形COFP-S△COD-S△DFP，表示△CDP的面積；再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出△CDP的最大面積和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

試題解析：

（1）設(shè)OA的長為x，則OB=5﹣x；

∵OC=2，AB=5，∠BOC=∠AOC=90°，∠OAC=∠OCB；

∴△AOC∽△COB，∴OC2=OAOB

∴22=x（5﹣x）

解得：x1=1，x2=4，

∵OA＜OB，∴OA=1，OB=4；

∴點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是：A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；

方法一：設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的關(guān)系式為：y=ax2+bx+2，

將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得

…

解得：a=，

所以這個二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=

方法二：設(shè)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的關(guān)系式為：y=a（x+1）（x﹣4）…

將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：a=-

所以這個二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=

（2）①當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)分別是：(3,),(，(4-) ．

②如圖1，連接OP，

S△CDP=S四邊形CODP﹣S△COD=S△COP+S△ODP﹣S△COD

=

∴當(dāng)m=時(shí)，△CDP的面積最大．此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（， ），

S△CDP的最大值是．

另解：如圖2、圖3，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，則

S△CDP=S梯形COFP﹣S△COD﹣S△DFP

=

∴當(dāng)m=時(shí)，△CDP的面積最大．此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（， ），

S△CDP的最大值是．