Question

如圖，Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，AC=BC，點D是劣弧BC的中點，AD與BC交于點E，延長BD與AC的延長線交于點F，連接CD，G是CD的中點．
（1）連接OG．判斷OG與CD的位置關(guān)系，寫出你的結(jié)論并證明；
（2）求證：AE=BF；
（3）若AE=6，求弦CD的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC、OD．利用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)來判定OG⊥CD；
（2）根據(jù)圓周角定理推知：∠ACB=90°、∠CAE=∠CBF；然后通過全等三角形的判定定理ASA來證明Rt△ACE≌Rt△BCF，由全等三角形的對應(yīng)邊相等知AE=BF．
（3）根據(jù)∠ADB=90°，可知AD⊥BF，可得，又知

CD

=

BD

，從而得到∠FAD=∠BAD，可知∠F=∠FBA，求出DB=3，即CD=3．

解答：解：（1）猜想：OG⊥CD．
證明：如圖，連接OC、OD．
∵OC=OD，G是CD的中點，
∴由等腰三角形的性質(zhì)，有OG⊥CD．（3分）

（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．
而∠CAE=∠CBF（同弧所對的圓周角相等）．
在Rt△ACE和Rt△BCF中，
∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，
∴△ACE≌△BCF（ASA）∴AE=BF．（12分）

（3）∵∠ADB=90°，可知AD⊥BF，
∵

CD

=

BD

，
∴∠FAD=∠BAD，
∴∠F=∠FBA，
∴CD=BD=

1

2

BF=

1

2

×6=3．

點評：本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)．在圓中，常見的輔助線之一：構(gòu)造直徑所對的圓周角．