Question

如圖，拋物線y=-ax²+ax+6a交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)B，交y軸正半軸于點(diǎn)D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線上一點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求證：四邊形ABCD的等腰梯形；
（3）如果∠CAB=∠ADO，求α的值．

Answer 1

分析：（1）令y=0，得出的方程的根就是A、B的橫坐標(biāo)．
（2）根據(jù)拋物線的解析式可知：D（0，6a），C（1，6a），因此CD∥x軸，只需證AD=BC即可，過C作CE⊥AB，可通過證△AOD和△BEC全等來得出結(jié)論．
（3）如果∠CAB=∠ADO，則有△AOD∽△CEA，可通過相似三角形得出的對(duì)應(yīng)成比例線段來求出a的值．

解答：（1）解：令y=0，則有0=-ax²+ax+6a，
解得x=-2，x=3．
∵A在x軸負(fù)半軸，B在x軸正半軸
∴A（-2，0），B（3，0）．

（2）證明：過C作CE⊥AB于E；
易知D（0，6a），C（1，6a）．
因此CD∥AB
∵AO=BE=2，OD=CE=6a，∠AOD=∠CEB=90°
∴△AOD≌△BEC
∴AD=BC
∴四邊形ABCD是等腰梯形．

（3）解：∵∠CAB=∠ADO，∠AOD=∠AEC=90°
∴△DAO∽△AEC
∴

DO

AE

=

AO

EC

，
∵DO=EC=6a
∴36a²=AE•AO=3•2
∴a=±

6

6

∵D點(diǎn)在y軸正半軸，
∴6a＞0，即a＞0
∴a=

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題中主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰梯形的判定、全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．