Question

如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動(dòng)，連結(jié)DP交AC于點(diǎn)Q．

(1)試證明：無(wú)論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí)，都有△ADQ≌△ABQ；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；

(3)若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，再繼續(xù)在BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADQ恰為等腰三角形．

Answer 1

(1)證明：△ADQ≌△ABQ；

(2)以A為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥y軸于點(diǎn)E，QF⊥x軸于點(diǎn)F．

AD×QE＝S_{正方形ABCD}＝   ∴QE＝

∵點(diǎn)Q在正方形對(duì)角線(xiàn)AC上  ∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴過(guò)點(diǎn)D(0，4)，兩點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式為：y＝－2x＋4，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝2，即P運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的；

(3)若△ADQ是等腰三角形，則有QD＝QA或DA＝DQ或AQ＝AD

①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)，由四邊形ABCD是正方形知  QD＝QA此時(shí)△ADQ是等腰三角形；

②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C也重合，此時(shí)DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形；

③如圖，設(shè)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)到CP＝x時(shí)，有AD＝AQ

∵AD∥BC  ∴∠ADQ＝∠CPQ．

又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD，

∴∠CQP＝∠CPQ．

∴CQ＝CP＝x．

∵AC＝，AQ＝AD＝4．

∴x＝CQ＝AC－AQ＝－4．

即當(dāng)CP＝－4時(shí)，△ADQ是等腰三角形．