Question

【題目】已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O．

（1）如圖1，連接AF、CE．求證：四邊形AFCE為菱形；
（2）如圖1，求AF的長；
（3）如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動一周．即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．在運(yùn)動過程中，已知點P的速度為每秒1cm，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
①問在運(yùn)動的過程中，以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形有可能是矩形嗎？若有可能，請求出運(yùn)動時間t和點Q的速度，若不可能，請說明理由；
②若點Q的速度為每秒0.8cm，當(dāng)A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O，

∴OA=OC，

又∵矩形ABCD中，AD∥BC．

∴∠OEA=∠FCO，

∴在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF（AAS）．

∴OE=OF，

∴四邊形AFCE是平行四邊形．

又∵AC⊥EF于點O，

∴四邊形AFCE是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）

（2）

解：由（1）可知，四邊形AFCE是菱形，設(shè)AF=FC=CE=AE=x，BF=y，

由題意，有 解得

即：所求AF的長為5．

（3）

解：①有可能是矩形，理由如下：

當(dāng)點P從點A出發(fā)移動到點B、點Q運(yùn)動到點D時，四邊形APCQ是矩形，

此時，二者的運(yùn)動時間相等，則，

t=（5+3）÷1=8（秒），

而點Q的速度為：4÷8=0.5（cm/s），

∴所求時間為8秒，點Q的速度為0.5cm/s，

②

由題意可知，RT△ABF≌RT△CDE，且AB=CD=4，BF=DE=3，AF=CE=5，

如圖：當(dāng)四邊形APCQ是平行四邊形時，有AP∥CQ，且AP=CQ，

而 AP=t，CQ=（3+4+5）﹣0.8t，則

t=12﹣0.8t，t=12，

即：當(dāng)以點A、P、C、Q為頂點的四邊形為平行四邊形時，t的值為12

【解析】（1）由判定定理“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”可證，（2）由（1）得，設(shè)AF=FC=CE=AE=x，BF=y，由圖形中存在的等量關(guān)系及勾股定理求證，（3）①若以點A、C、P、Q四點為頂點四邊形是矩形，則點P與點B重合，點Q與點D 重合，由運(yùn)動過程中時間相等求解，②則利用平行四邊形的性質(zhì)可以求解．
【考點精析】掌握菱形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．