Question

【題目】已知：如圖，直角△ABC 中，AC=BC，∠C=90°，∠CAB=∠ABC=45°，過(guò)點(diǎn) B 作射線BD⊥AB 于 B，點(diǎn) P 為 BC 邊上任一點(diǎn)，在射線上取一點(diǎn) Q，使得 PQ=AP.

（1）請(qǐng)依題意補(bǔ)全圖形；

（2）試判斷 AP 和 PQ 的位置關(guān)系，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）圖見(jiàn)解析.（2）垂直，證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意在CB取點(diǎn)P，再以點(diǎn)P為圓心AP為半徑交BD于點(diǎn)Q，連接PQ.

（2）通過(guò)證明三角形全等，得到對(duì)應(yīng)角相等，再根據(jù)等量代換得到∠APQ=90°即可得到AP與PQ垂直.

（1）

（2）

如圖作BD=AB，PM∥BD，過(guò)點(diǎn)Q作QG垂直于BH，并延長(zhǎng)與PM相交于點(diǎn)M.

則三角形PMG與三角形DBH全等

∴PM=BD=AB

又三角形BGQ是等腰直角三角形

∴BG=QG

則PG-BG=MG-QG

即PB=MQ

在三角形PMQ與三角形ABP中

∴（SSS）

∴∠BAP=∠MPQ

又∠BAP+∠CAP=∠MPQ+∠QPG=45°

則∠CAP=∠QPG

∵∠CAP+∠APC=90°

∴∠QPG +∠APC=90°

又∠APQ+(∠QPG +∠APC)=180°

則∠APQ=90°

故AP與PQ垂直.