Question

【題目】如圖，已知，在的角平分線上有一點(diǎn)，將一個(gè)角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，它的兩條邊分別與射線相交于點(diǎn).

（1）如圖1，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與垂直時(shí)，請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；

（3）如圖3，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)位于的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，求線段與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.

Answer 1

【答案】（1），見解析；（2）結(jié)論仍然成立，見解析；（3）

【解析】

（1）先判斷出∠OCE＝60°，再利用特殊角的三角函數(shù)得出OD＝OC，同OE＝OC，即可得出結(jié)論；
（2）同（1）的方法得OF＋OG＝OC，再判斷出△CFD≌△CGE，得出DF＝EG，最后等量代換即可得出結(jié)論；
（3）同（2）的方法即可得出結(jié)論．

解：（1）是的角平分線

在中，，

同理：

（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由：

過點(diǎn)作于，于

由（1）知，

，且點(diǎn)是的平分線上一點(diǎn)

（3）結(jié)論為：.

理由：過點(diǎn)C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC＝∠OGC＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠FCG＝120°，
同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，
∴OF＋OG＝OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C是∠AOB的平分線OM上一點(diǎn)，
∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，
∴∠DCF＝∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF＝EG，
∴OF＝DFOD＝EGOD，OG＝OEEG，
∴OF＋OG＝EGOD＋OEEG＝OEOD，
∴OEOD＝OC．