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        1. 【題目】如圖,矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A在x軸的正半軸上,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,OA=4,OC=3,若拋物線的頂點(diǎn)在BC邊上,且拋物線經(jīng)過(guò)O,A兩點(diǎn),直線AC交拋物線于點(diǎn)D.

          (1)求拋物線的解析式;

          (2)求點(diǎn)D的坐標(biāo);

          (3)若點(diǎn)M在拋物線上,點(diǎn)N在x軸上,是否存在以A,D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

          【答案】(1)y=-x2+3x;(2) 點(diǎn)D坐標(biāo)為(1,);(3)存在,N1(2,0),N2(6,0),N3(--1,0),N4-1,0).

          【解析】

          試題分析:(1)由OA的長(zhǎng)度確定出A的坐標(biāo),再利用對(duì)稱(chēng)性得到頂點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)形式y(tǒng)=a(x-2)2+3,將A的坐標(biāo)代入求出a的值,即可確定出拋物線解析式;

          (2)設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,將A與C坐標(biāo)代入求出k與b的值,確定出直線AC解析式,與拋物線解析式聯(lián)立即可求出D的坐標(biāo);

          (3)存在,分兩種情況考慮:如圖所示,當(dāng)四邊形ADMN為平行四邊形時(shí),DM∥AN,DM=AN,由對(duì)稱(chēng)性得到M(3,),即DM=2,故AN=2,根據(jù)OA+AN求出ON的長(zhǎng),即可確定出N的坐標(biāo);當(dāng)四邊形ADM′N(xiāo)′為平行四邊形,可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P,M′P=DQ=,N′P=AQ=3,將y=-代入得:-=-x2+3x,求出x的值,確定出OP的長(zhǎng),由OP+PN′求出ON′的長(zhǎng)即可確定出N′坐標(biāo).

          試題解析:(1)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為E,根據(jù)題意OA=4,OC=3,得:E(2,3),

          設(shè)拋物線解析式為y=a(x-2)2+3,

          將A(4,0)坐標(biāo)代入得:0=4a+3,即a=-

          則拋物線解析式為y=-(x-2)2+3=-x2+3x;

          (2)設(shè)直線AC解析式為y=kx+b(k≠0),

          將A(4,0)與C(0,3)代入得:,

          解得:,

          故直線AC解析式為y=-x+3,

          與拋物線解析式聯(lián)立得:,

          解得:,

          則點(diǎn)D坐標(biāo)為(1,);

          (3)存在,分兩種情況考慮:

          ①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí),如圖1所示:

          四邊形ADMN為平行四邊形,DM∥AN,DM=AN,

          由對(duì)稱(chēng)性得到M(3,),即DM=2,故AN=2,

          ∴N1(2,0),N2(6,0);

          ②當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí),如圖2所示:

          過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥x軸于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)M作MP⊥x軸于點(diǎn)P,可得△ADQ≌△NMP,

          ∴MP=DQ=,NP=AQ=3,

          將yM=-代入拋物線解析式得:-=-x2+3x,

          解得:xM=2-或xM=2+,

          ∴xN=xM-3=--1或-1,

          ∴N3(--1,0),N4-1,0).

          綜上所述,滿(mǎn)足條件的點(diǎn)N有四個(gè):N1(2,0),N2(6,0),N3(--1,0),N4-1,0).

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (2)補(bǔ)全頻數(shù)分布折線圖;

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          (2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到AB與AE重疊時(shí)(如圖3),則∠α=_____度;

          (3)當(dāng)△ADE的一邊與△ABC的某一邊平行(不共線)時(shí),直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角α的所有可能的度數(shù);

          (4)當(dāng)0°<α≤45°時(shí),連接BD(如圖4),探求∠DBC+∠CAE+∠BDE的值的大小變化情況,并說(shuō)明理由.

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