Question

如圖，Rt△ABC的兩條直角邊AC=3，BC=4，點(diǎn)P是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)（P不與B重合），以P為圓心作⊙P與BA相切于點(diǎn)M．設(shè)CP=x，⊙P的半徑為y．
（1）求證：△BPM∽△BAC；
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并確定當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，⊙P與AC所在直線相離；
（3）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的⊙P，使得它與△ABC的外接圓相內(nèi)切？若存在，求出x、y的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由∠B=∠B，∠C=∠BMP=90°證明；
（2）勾股定理求出AB的長(zhǎng)，相似三角形求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，求出取值范圍；
（3）根據(jù)內(nèi)切圓的特點(diǎn)，求出x，y的值．

解答：（1）證明：∵AB切⊙P于點(diǎn)M，
∴∠PMB=∠C=90°．
又∵∠B=∠B，
∴△BPM∽△BAC．

（2）解：∵AC=3，BC=4，∠C=90°，
∴AB=5．
∵

BP

BA

=

PM

AC

，
∴

4-x

5

=

y

3

，
∴y=-

3

5

x+

12

5

（0≤x＜4）．
當(dāng)x＞y時(shí)，⊙P與AC所在的直線相離．
即x＞-

3

5

x+

12

5

，
得x＞

3

2

，
∴當(dāng)

3

2

＜x＜4時(shí)，⊙P與AC所在的直線相離．

（3）解：設(shè)存在符合條件的⊙P．
得OP=2.5-y，而B(niǎo)M=

4

3

y，
∴OM=2.5-

4

3

y，
有(2.5-

4

3

y)2+y2=(2.5-y)2，
得

16

9

y2-

5

3

y=0
∴y₁=0（不合題意舍去），y₂=

15

16

．
∴y=

15

16

時(shí)，x=

39

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合考查了相似三角形的應(yīng)用和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．