Question

（2012•江干區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸向右以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)t秒（t＞0），拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)O和點(diǎn)P．
（1）求c，b（用t的代數(shù)式表示）；
（2）拋物線y=-x²+bx+c與直線x=1和x=5分別交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)t＞1時(shí)，
①在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，你認(rèn)為sin∠MPO的大小是否會(huì)變化？若變化，說明理由；若不變，求出sin∠MPO的值；
②△MPN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；
③是否存在這樣的t值，使得以O(shè)，M、N，P為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？如果存在，求出t的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)O和點(diǎn)P，將O（0，0），P（t，0），代入求出c，b的值即可；
（2）①根據(jù)（1）中解析式得出M（1，t-1），得出AM=AP，∠PAM=45°即可得出sin∠MPO的大小不會(huì)變化；
②根據(jù)當(dāng)1＜t≤5時(shí)以及當(dāng)t＞5時(shí)，分別得出S_△MPN=S_△APM+S_梯形ABNP-S_△MBN，S_△MPN=S_梯形MABN+S_△NBP-S_△APM，求出即可；
③根據(jù)當(dāng)MP∥ON時(shí)以及當(dāng)MN∥OP時(shí)，分別得出t的值即可．

解答：解：（1）由題意得O（0，0），P（t，0），
代入y=-x²+bx+c，
得c=0，
-t²+bt=0，
即b=t．
即y=-x²+tx．

（2）當(dāng)t＞1時(shí)，①M(fèi)（1，t-1），
即AM=t-1，AP=t-1，
即AM=AP，∠PAM=45°，sin∠MPO=sin45°=

2

2

是定值．
②當(dāng)1＜t≤5時(shí)，N（5，5t-25），
如圖1，

過點(diǎn)N作AM的垂線，垂足為B，
S_△MPN=S_△APM+S_梯形ABNP-S_△MBN，
=

1

2

（t-1）²+

1

2

（t-1+4）×（25-5t）-

1

2

（t-1-5t+25）×4，
=-2t²+12t-10，
當(dāng)t＞5時(shí)，如圖2，


S_△MPN=S_梯形MABN+S_△NBP-S_△APM，
=

1

2

（t-1+5t-25）×4+

1

2

（5t-25）（t-5）-

1

2

（t-1）²，
=2t²-12t+10，

③存在這樣的t值，使得以O(shè)、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形為梯形．
當(dāng)MP∥ON時(shí)，如圖3，

∵∠OPM=45°，∴∠PON=45°，
即N（5，-5），代入y=-x²+tx得-25+5t=-5．
解得t=4；
當(dāng)MN∥OP時(shí)，如圖4，

則M，N關(guān)于對(duì)稱軸x=3對(duì)稱，
即-

t

2×(-1)

=3，
解得：t=6．
綜上，當(dāng)t=4或t=6時(shí)，以O(shè)、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形為梯形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及梯形的判定和圖形面積求法，正確利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵．