Question

（2011•巴中）已知如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，點M是AD）的中點．連接BM交AC于N．BM的延長線交CD的延長線于E．
（1）求證：

EM

EB

=

AM

BC

；
（2）若MN=1cm，BN=3cm，求線段EM的長．

Answer 1

分析：（1）由于AD∥BC，易證得△MED∽△BEC；得

EM

EB

=

MD

BC

；已知AM=MD，代換相等線段后即可得出本題要證的結(jié)論．
（2）按照（1）的方法，可由AM∥BC，得出

AM

BC

=

MN

BN

=

EM

EB

，再聯(lián)立（1）得出的比例關(guān)系式，可列出關(guān)于EM的方程，即可求得EM的長．

解答：（1）證明：∵AD∥BC，
∴△MED∽△BEC，
∴

EM

EB

=

MD

BC

，
又∵M是AD的中點，
∴AM=MD，
∴

EM

EB

=

AM

BC

．

（2）解：∵△AMN∽△CBN，
∴

AM

BC

=

MN

BN

=

EM

EB

，

EM

EB

=

1

3

又∵EB=ME+MB，
MB=BN+NM=4cm，
∴

1

3

=

ME

4+ME

∴EM=2cm．

點評：此題主要考查了梯形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)和解一元二次方程．