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        1. 【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=5 ,∠C=30°.點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t>0).過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F,連接DE、EF.

          (1)AC的長(zhǎng)是 , AB的長(zhǎng)是
          (2)在D、E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,線段EF與AD的關(guān)系是否發(fā)生變化?若不變化,那么線段EF與AD是何關(guān)系,并給予證明;若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.
          (3)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎?如果能,求出相應(yīng)的t值;如果不能,說(shuō)明理由.
          (4)當(dāng)t為何值,△BEF的面積是2 ?

          【答案】
          (1)10;5
          (2)

          解:EF與AD平行且相等.

          證明:在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,DC=2t,

          ∴DF=t.

          又∵AE=t,

          ∴AE=DF,

          ∵AB⊥BC,DF⊥BC,

          ∴AE∥DF.

          ∴四邊形AEFD為平行四邊形.

          ∴EF與AD平行且相等


          (3)

          解:能;

          理由如下:

          ∵AB⊥BC,DF⊥BC,

          ∴AE∥DF.

          又∵AE=DF,

          ∴四邊形AEFD為平行四邊形.

          ∵AB=BCtan30°=5 × =5,

          ∴AC=2AB=10.

          ∴AD=AC﹣DC=10﹣2t.

          若使AEFD為菱形,則需AE=AD,

          即t=10﹣2t,t=

          即當(dāng)t= 時(shí),四邊形AEFD為菱形


          (4)

          解:∵在Rt△CDF中,∠A=30°,

          ∴DF= CD,

          ∴CF= t,

          又∵BE=AB﹣AE=5﹣t,BF=BC﹣CF=5 t,

          即: ,

          解得:t=3,t=7(不合題意舍去),

          ∴t=3.

          故當(dāng)t=3時(shí),△BEF的面積為2

          故答案為:5,10;平行且相等; ;3


          【解析】(1)解:∵在Rt△ABC中,∠C=30°,
          ∴AC=2AB,
          根據(jù)勾股定理得:AC2﹣AB2=BC2
          ∴3AB2=75,
          ∴AB=5,AC=10;
          在Rt△ABC中,∠C=30°,則AC=2AB,根據(jù)勾股定理得到AC和AB的值.(2)先證四邊形AEFD是平行四邊形,從而證得AD∥EF,并且AD=EF,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中關(guān)系不變.(3)求得四邊形AEFD為平行四邊形,若使AEFD為菱形則需要滿足的條件及求得.(4)BE=AB﹣AE=5﹣t,BF=BC﹣CF=5 t,從而得到 ,然后求得t的值.
          【考點(diǎn)精析】掌握含30度角的直角三角形和勾股定理的概念是解答本題的根本,需要知道在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半;直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2

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