Question

如圖，在中，，，，AF=10cm， AC=14cm，動點(diǎn)E以2cm/s的速度從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)以1cm/s的速度從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t．

（1）求證：在運(yùn)動過程中，不管t取何值，都有；
（2）當(dāng)t取何值時，與全等；
（3）在（2）的前提下，若，,求。

Answer 1

(1)證明見解析；（2）；（3）.

試題分析：（1）由角平分線的性質(zhì)可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面積轉(zhuǎn)化為底AE和CG的比值，根據(jù)路程=速度×?xí)r間求出AE和CG的長度即可證明在運(yùn)動過程中，不管取何值，都有S_△AED=2S_△DGC．
(2)若△DFE與△DMG全等，則EF=MG，利用已知條件求出EF和MG的長度，建立方程解方程即可求出運(yùn)動的時間．
（3）利用等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的比，即可求得答案．
試題解析：（1）證明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM，
∵S_△AED=AE•DF，S_△DGC=CG•DM，
∴，
∵點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動，
∴AE=2tcm，CG=tcm，
∴，即，
∴在運(yùn)動過程中，不管取何值，都有S_△AED=2S_△DGC．
（2）解：設(shè)時間為t時，△DFE與△DMG全等，則EF=MG
①當(dāng)M在線段CG的延長線上時，
∵點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動，
∴EF=AF-AE=10-2t，MG=AC-CG-AM=4-t，
即10-2t=4-t，
解得：t=6，
當(dāng)t=6時，MG=-2，所以舍去；
②當(dāng)M在線段CG上時，
∵點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)向F點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)G以1cm/s的速度從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動，
∴EF=AF-AE=10-2t（cm），MG=AM-（AC-CG）=t-4（cm），
即10-2t=t-4，
解得：t=，
綜上所述當(dāng)t=時，△DFE與△DMG全等．
（3）∵t=，
∴AE=2t=（cm），
∵DF=DM，
∴S_△ABD：S_△ACD=AB：AC=BD：CD=119：126，
∵AC=14cm，
∴AB=（cm），
∴BF=AB-AF=-10=（cm），
∵S_△ADE：S_△BDF=AE：BF=：，S_△AED=28cm²，
∴S_△BDF=（cm²）．
考點(diǎn): 1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.三角形的面積；3.角平分線的性質(zhì)．