Question

已知二次函數(shù)過點(diǎn)A（0，-2），B（-1，0），C（

5

4

，

9

8

）
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）判斷點(diǎn)M（1，

1

2

）是否在直線AC上；
（3）過點(diǎn)M（1，

1

2

）作一條直線l與二次函數(shù)的圖象交于E、F兩點(diǎn)（不同于A，B，C三點(diǎn)），請自已給出E點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明△BEF是直角三角形．

Answer 1

分析：（1）已知二次函數(shù)過點(diǎn)A（0，-2），B（-1，0），C（

5

4

，

9

8

），欲求解析式，只需用待定系數(shù)法進(jìn)行求解．
（2）由（1）中A、C坐標(biāo)，通過待定系數(shù)法可求出直線AC解析式，把M坐標(biāo)代入解析式里，看解答結(jié)果是否等于

1

2

，若是，則M在AC上，反之不在．
（3）首先E點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)符合拋物線，然后可根據(jù)待定系數(shù)法求出直線EM的解析式，結(jié)合二次函數(shù)解析式組成方程組，進(jìn)而求出F點(diǎn)坐標(biāo)．要想證明△BEF是直角三角形，則必須符合兩邊的平方和等于第三邊的平方，這就需要我們依次求出BE、BF、EF或者是它們的平方進(jìn)行判定．

解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
把A（0，-2），B（-1，0），C（

5

4

，

9

8

）代入
得

c=-2 0=a-b+c 9 8 = 25 16 a+ 5 4 b+c

解得a=2，b=0，c=-2，
∴y=2x²-2（3分）；

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
把A（0，-2），C（

5

4

，

9

8

）代入得

b=-2 9 8 = 5 4 k+b

，
解得k=

5

2

，b=-2，
∴y=

5

2

x-2
當(dāng)x=1時，y=

5

2

×1-2=

1

2

∴M（1，

1

2

）在直線AC上（5分）；

（3）設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

2

，-

3

2

），則直線EM的解析式為y=

4

3

x-

5

6

由

y= 4 3 x- 5 6 y=2x2-2

化簡得2x2-

4

3

x-

7

6

=0，
即(x+

1

2

)(2x-

7

3

)=0，
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（

7

6

，

13

18

）．（6分）
過E點(diǎn)作EH⊥x軸于H，則H的坐標(biāo)為（-

1

2

，0）．
∴EH=

3

2

，BH=

1

2

∴BE²=（

3

2

）²+（

1

2

）²=

10

4

，
同理可得：BF2=(

13

18

)2+(

13

6

)2=

1690

324

=

845

162

，
EF2=(

40

18

)2+(

10

6

)2=

2500

324

=

1250

162

，（9分）
∴BE²+BF²=

10

4

+

845

162

=

1250

162

=EF2，
∴△BEF是直角三角形．（10分）

點(diǎn)評：此題主要考查了待定系數(shù)法以及勾股定理逆定理的應(yīng)用，難易程度適中．