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        1. 【題目】如圖,在 Rt△POQ中,OP=OQ=4,M PQ中點(diǎn),把一個(gè)三角尺頂點(diǎn)放在點(diǎn)M處,以M為旋轉(zhuǎn)心,旋轉(zhuǎn)三角尺,三角尺的兩直角邊與 Rt△POQ的兩直角邊分別交于點(diǎn)A、B.

          (1)求證:MA=MB;

          (2)探究:在旋轉(zhuǎn)三角尺的過(guò)程中,四邊形AOBM的面積是否發(fā)生變化?為什么?

          (3)連接 AB,探究:在旋轉(zhuǎn)三角尺的過(guò)程中,△AOB的周長(zhǎng)是否存在最小值?若存在,求出最小值.

          【答案】1見解析;(2)四邊形 AOBM 的面積沒有發(fā)生變化, 理由見解析;(3)當(dāng) x=2 時(shí),△AOB 的周長(zhǎng)有最小值最小值為=4+2

          【解析】

          (1)過(guò)點(diǎn) M MEOP 于點(diǎn) E,作 MFOQ 于點(diǎn) F,根據(jù)正方形的判定定理得到四邊形 OEMF 是正方形,證明△AME≌△BMF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答;

          (2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到四邊形 AOBM 的面積=正方形 EOFM 的面積;

          (3)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到得到 AE=BF,設(shè) OA=x,根據(jù)勾股定理得到AB=,根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式,二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

          1)過(guò)點(diǎn) M MEOP 于點(diǎn) E,作 MFOQ 于點(diǎn) F,

          ∵∠O=90°,∠MEO=90°,∠OFM=90°,

          ∴四邊形 OEMF 是矩形,

          M PQ 的中點(diǎn),OP=OQ=4,

          ME=OQ=2MF=OP=2,

          ME=MF,

          ∴四邊形 OEMF 是正方形,

          ∵∠AME+AMF=90°,∠BMF+AMF=90°,

          ∴∠AME=BMF,

          在△AME 和△BMF 中,

          ∴△AME≌△BMFASA),

          MA=MB

          (2)四邊形 AOBM 的面積沒有發(fā)生變化, 理由如下:∵△AME≌△BMF,

          ∴四邊形 AOBM 的面積=正方形 EOFM 的面積=4;

          (3)∵△AME≌△BMF,

          AE=BF

          設(shè) OA=x,則 AE=2x,

          OB=OF+BF=2+2x=4x,

          RtAME 中,AM== ,

          ∵∠AMB=90°,MA=MB,

          AB=AM= ,

          AOB 的周長(zhǎng)=OA+OB+AB

          =x+4x+

          =4+,

          則當(dāng) x=2 時(shí),△AOB 的周長(zhǎng)有最小值最小值為=4+2

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (1)求k、b的值;

          (2)若點(diǎn)Dy軸負(fù)半軸上,且滿足SCOD=SBOC,求點(diǎn)D的坐標(biāo).

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          1求直線AB的解析式;

          2當(dāng)t為何值時(shí),△APQ與△AOB相似?

          3當(dāng)t為何值時(shí),△APQ的面積為個(gè)平方單位?

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