Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，m），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（n，﹣n），拋物線經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點(diǎn)C．已知實(shí)數(shù)m、n（m＜n）分別是方程x2﹣2x﹣3=0的兩根．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、B重合），直線PC與拋物線交于D、E兩點(diǎn)（點(diǎn)D在y軸右側(cè)），連接OD、BD．

①當(dāng)△OPC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②求△BOD 面積的最大值，并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】解：（1）解方程x2﹣2x﹣3=0，得 x1=3，x2=﹣1。

∵m＜n，∴m=﹣1，n=3。∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）。

∵拋物線過(guò)原點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx。

∴，解得：。

∴拋物線的解析式為。

（2）①設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b。

∴，解得：。

∴直線AB的解析式為。

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）。

∵直線OB過(guò)點(diǎn)O（0，0），B（3，﹣3），∴直線OB的解析式為y=﹣x。

∵△OPC為等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC。

設(shè)P（x，﹣x）。

（i）當(dāng)OC=OP時(shí)，，解得（舍去）。

∴P1（）。

（ii）當(dāng)OP=PC時(shí)，點(diǎn)P在線段OC的中垂線上，∴P2（）。

（iii）當(dāng)OC=PC時(shí)，由，解得（舍去）。

∴P3（）。

綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為P1（）或P2（）或P3（）。

②過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸，垂足為G，交OB于Q，過(guò)B作BH⊥x軸，垂足為H．

設(shè)Q（x，﹣x），D（x，）．

S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQOG+DQGH

=DQ（OG+GH）

=

=。

∵0＜x＜3，∴當(dāng)時(shí)，S取得最大值為，此時(shí)D（）。

【解析】（1）首先解方程得出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可。

（2）①首先求出AB的直線解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出當(dāng)OC=OP時(shí)，當(dāng)OP=PC時(shí)，點(diǎn)P在線段OC的中垂線上，當(dāng)OC=PC時(shí)分別求出x的值即可。

②利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出關(guān)于x的二次函數(shù)，從而得出最值即可。