Question

【題目】如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的對(duì)角線AC上的一點(diǎn)（異于兩個(gè)端點(diǎn)），AB＝2BC＝2，若BP的垂直平分線EF經(jīng)過該矩形的一個(gè)頂點(diǎn)，則BP的垂直平分線EF與對(duì)角線AC的夾角（銳角）的正切值為_____．

Answer 1

【答案】或2﹣2

【解析】

分兩種情況：①當(dāng)BP的垂直平分線經(jīng)過頂點(diǎn)C時(shí)，連接PE，則PC＝BC＝1，PE＝BE,△PCE≌△BCE，得出∠APE＝∠CPE＝∠ABC＝90°，由勾股定理求出AC＝＝，的AP＝﹣1，證明△APE∽△ABC，求出PE＝，即可得出tan∠ACE的值；

②當(dāng)BP的垂直平分線經(jīng)過頂點(diǎn)A時(shí)，連接PE，則AP＝AB＝2，PE＝BE，△APE≌△ABE，的∠APE＝∠CPE＝∠ABC＝90°，PC＝AC﹣AP＝﹣2，

同①得：△CPE∽△CBA，求出PE＝＝2﹣4，求出tan∠CAE的值即可．

∵AB＝2BC＝2，

∴BC＝1，

分兩種情況：

①當(dāng)BP的垂直平分線經(jīng)過頂點(diǎn)C時(shí)，如圖1所示：連接PE，

則PC＝BC＝1，PE＝BE，△PCE≌△BCE，

∴∠APE＝∠CPE＝∠ABC＝90°，

∵AC＝＝，

∴AP＝﹣1，

∵∠PAE＝∠BAC，

∴△APE∽△ABC，

∴，

∴PE＝，

∴tan∠ACE＝＝；

②當(dāng)BP的垂直平分線經(jīng)過頂點(diǎn)A時(shí)，如圖2所示：連接PE，

則AP＝AB＝2，PE＝BE，△APE≌△ABE，

∴∠APE＝∠CPE＝∠ABC＝90°，

∴PC＝AC﹣AP＝﹣2，

同①得：△CPE∽△CBA，

∴，

∴PE＝，

∴tan∠CAE＝；

綜上所述，BP的垂直平分線EF與對(duì)角線AC的夾角（銳角）的正切值為或2﹣2；