Question

如圖，已知在△ABP中，C是BP邊上一點，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且交BP于點E．

（1）求證：PA是⊙O的切線；

（2）過點C作CF⊥AD，垂足為點F，延長CF交AB于點G，若AG•AB=12，求AC的長；

（3）在滿足（2）的條件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半徑及sin∠ACE的值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：連接CD，

∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90°。

∴∠CAD+∠ADC=90°。

又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，

∴∠PAC=∠ADC�！唷螩AD+∠PAC=90°。

∴PA⊥OA。

又∵AD是⊙O的直徑，∴PA是⊙O的切線。

（2）由（1）知，PA⊥AD，

又∵CF⊥AD，∴CF∥PA�！唷螱CA=∠PAC。

又∵∠PAC=∠PBA，∴∠GCA=∠PBA。

又∵∠CAG=∠BAC，∴△CAG∽△BAC。

∴，即AC²=AG•AB。

∵AG•AB=12，∴AC²=12。∴AC=。

（3）設AF=x，

∵AF：FD=1：2，∴FD=2x�！郃D=AF+FD=3x。

在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC²=AF•AD，即3x²=12。

解得；x=2。

∴AF=2，AD=6。∴⊙O半徑為3。

在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，

∴根據(jù)勾股定理得：。

由（2）知，AG•AB=12，∴。

連接BD，

∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD=90°。

在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=，AD=6，∴sin∠ADB=。

∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，∴sin∠ACE=。

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)圓周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°進而得出答案。

（2）首先得出△CAG∽△BAC，進而得出AC²=AG•AB，求出AC即可；

（3）先求出AF的長，根據(jù)勾股定理得即可得出sin∠ADB=，利用∠ACE=∠ACB=∠ADB，求出即可�！�