Question

（2012•鹽城）如圖①所示，已知A、B為直線l上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為直線l上方一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，分別以AC、BC為邊向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，過(guò)點(diǎn)D作DD₁⊥l于點(diǎn)D₁，過(guò)點(diǎn)E作EE₁⊥l于點(diǎn)E₁．

（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E恰好在直線l上時(shí)（此時(shí)E₁與E重合），試說(shuō)明DD₁=AB；
（2）在圖①中，當(dāng)D、E兩點(diǎn)都在直線l的上方時(shí)，試探求三條線段DD₁、EE₁、AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)E在直線l的下方時(shí)，請(qǐng)直接寫出三條線段DD₁、EE₁、AB之間的數(shù)量關(guān)系．（不需要證明）

Answer 1

分析：（1）由四邊形CADF、CBEG是正方形，可得AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，又由同角的余角相等，求得∠ADD₁=∠CAB，然后利用AAS證得△ADD₁≌△CAB，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得DD₁=AB；
（2）首先過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，由DD₁⊥AB，可得∠DD₁A=∠CHA=90°，由四邊形CADF是正方形，可得AD=CA，又由同角的余角相等，求得∠ADD₁=∠CAH，然后利用AAS證得△ADD₁≌△CAH，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得DD₁=AH，同理EE₁=BH，則可得AB=DD₁+EE₁．
（3）證明方法同（2），易得AB=DD₁-EE₁．

解答：（1）證明：∵四邊形CADF、CBEG是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，
∴∠DAD₁+∠CAB=90°，
∵DD₁⊥AB，
∴∠DD₁A=∠ABC=90°，
∴∠DAD₁+∠ADD₁=90°，
∴∠ADD₁=∠CAB，
在△ADD₁和△CAB中，

∠DD1A=∠ABC ∠ADD1=∠CAB AD=CA

，
∴△ADD₁≌△CAB（AAS），
∴DD₁=AB；

（2）解：AB=DD₁+EE₁．
證明：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，
∵DD₁⊥AB，
∴∠DD₁A=∠CHA=90°，
∴∠DAD₁+∠ADD₁=90°，
∵四邊形CADF是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=90°，
∴∠DAD₁+∠CAH=90°，
∴∠ADD₁=∠CAH，
在△ADD₁和△CAH中，

∠DD1A=∠CHA ∠ADD1=∠CAH AD=CA

，
∴△ADD₁≌△CAH（AAS），
∴DD₁=AH；
同理：EE₁=BH，
∴AB=AH+BH=DD₁+EE₁；

（3）解：AB=DD₁-EE₁．
證明：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，
∵DD₁⊥AB，
∴∠DD₁A=∠CHA=90°，
∴∠DAD₁+∠ADD₁=90°，
∵四邊形CADF是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=90°，
∴∠DAD₁+∠CAH=90°，
∴∠ADD₁=∠CAH，
在△ADD₁和△CAH中，

∠DD1A=∠CHA ∠ADD1=∠CAH AD=CA

，
∴△ADD₁≌△CAH（AAS），
∴DD₁=AH；
同理：EE₁=BH，
∴AB=AH-BH=DD₁-EE₁．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法．