Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且滿足．

（1）求直線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖2，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，試探索是否為定值?若是，求出該值；若不是，請(qǐng)說明理由；

（3）點(diǎn)為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出滿足為等腰三角形的所有點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是定值，定值為2；（3），， ，，，，

【解析】

（1）利用“待定系數(shù)法”可求出解析式，然后過點(diǎn)C作CF⊥OB，利用等腰三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C橫坐標(biāo)，再利用解析式求出點(diǎn)C坐標(biāo)即可；

（2）先利用勾股定理計(jì)算出AB、OC長(zhǎng)，從而證明OC=BC=AC，再利用“等邊對(duì)等角”得到∠CAO=∠AOC，最后利用三角形外角定理即可得到結(jié)果；

（3）分BP=BC、CP=CB、PB=PC三種情況討論，分別進(jìn)行計(jì)算即可．

解：（1）設(shè)：，

代入點(diǎn)、可得，

解得：，

即：，

設(shè)，如圖作，

∵，，

∴，

∴，即，

將點(diǎn)代入可得：，

∴；

（2）是定值，定值為2．

由（1）可得，，

∴在中，，

又∵在，，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

又∵，

∴；

（3）①BC=BP=時(shí)：

當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，OP=或，此時(shí)，，

當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，在Rt△OBP中，OP=，此時(shí)，，

②CB=CP=時(shí)：

由（2）知OC=，

∴CP=OC，此時(shí)，

③PB=PC時(shí)：

當(dāng)P在x軸上時(shí)，設(shè)P(x，0)，則，，

∴，解得，

此時(shí)，

當(dāng)P在y軸上時(shí)，設(shè)P(0，y)，則，，

∴，解得，

此時(shí)，

綜上，，，，，，，．