Question

【題目】如圖，在⊙O中，點(diǎn)C是直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，切點(diǎn)為D，連結(jié)BD．
（1）求證：∠A=∠BDC；
（2）若CM平分∠ACD，且分別交AD、BD于點(diǎn)M、N，當(dāng)DM=1時(shí)，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖，連接OD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，

又∵CD與⊙O相切于點(diǎn)D，

∴∠CDB+∠ODB=90°，

∵OD=OB，

∴∠ABD=∠ODB，

∴∠A=∠BDC．

（2）

解：∵CM平分∠ACD，

∴∠DCM=∠ACM，

又∵∠A=∠BDC，

∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，

∵∠ADB=90°，DM=1，

∴DN=DM=1，

∴MN= =

【解析】（1）由圓周角推論可得∠A+∠ABD=90°，由切線性質(zhì)可得∠CDB+∠ODB=90°，而∠ABD=∠ODB，可得答案；
　　　�。�2）由角平分線及三角形外角性質(zhì)可得∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，根據(jù)勾股定理可求得MN的長(zhǎng)．本題主要考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、角平分線的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑是解本題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．