Question

【題目】如圖，正方形ABCD，點(diǎn)P為射線DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn)，連接PQ，DQ，過點(diǎn)P作PE⊥DQ于點(diǎn)E．

（1）請(qǐng)找出圖中一對(duì)相似三角形，并證明；

（2）若AB＝4，以點(diǎn)P，E，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADQ相似，試求出DP的長．

Answer 1

【答案】（1）△DPE∽△QDA，證明見解析；（2）DP=2或5

【解析】

（1）由∠ADC＝∠DEP＝∠A＝90可證明△ADQ∽△EPD；

（2）若以點(diǎn)P，E，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADQ相似，有兩種情況，當(dāng)△ADQ∽△EPQ時(shí)，設(shè)EQ＝x，則EP＝2x，則DE＝2x，由△ADQ∽△EPD可得，可求出x的值，則DP可求出；同理當(dāng)△ADQ∽△EQP時(shí)，設(shè)EQ＝2a，則EP＝a，可得，可求出a的值，則DP可求．

（1）△ADQ∽△EPD，證明如下：

∵PE⊥DQ，

∴∠DEP＝∠A＝90，

∵∠ADC＝90，

∴∠ADQ＋∠EDP＝90，∠EDP＋∠DPE＝90，

∴∠ADQ＝∠DPE，

∴△ADQ∽△EPD；

（2）∵AB＝4，點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn)，

∴AQ＝BQ＝2，

∴DQ＝，

∵∠PEQ＝∠A＝90，

∴若以點(diǎn)P，E，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADQ相似，有兩種情況，

①當(dāng)△ADQ∽△EPQ時(shí)，，

設(shè)EQ＝x，則EP＝2x，則DE＝2x，

由（1）知△ADQ∽△EPD，

∴，

∴，

∴x＝

∴DP＝＝5；

②當(dāng)△ADQ∽△EQP時(shí)，設(shè)EQ＝2a，則EP＝a，

同理可得，

∴a＝，

DP＝．

綜合以上可得DP長為2或5，使得以點(diǎn)P，E，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADQ相似．