Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，AC分別交BE、DF于G、H，下列結論：
①BE=DF；②AG=GH=HC；③2EG=BG；④S_△ABC=5S_△AGE；
其中正確的有

①②③④

．（填序號）

Answer 1

分析：根據(jù)平行四邊形的性質得AD∥BC，AD=BC，易得DE=BF，則可判斷四邊形DEBF為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質可判斷BE=DF；由AE∥BC可得到△AEG∽△CBG，根據(jù)相似三角形的性質的

AG

CG

=

EG

BG

=

AE

BC

=

1

2

，則CG=2AG，BG=2GE，同理可得AF=2CH，于是有AG=GF=HC；由△AEG∽△CBG得

S△AEG

S△BCG

=（

AE

BC

）²=

1

4

，再由BG=2GE得S_△ABG=2S_△AEG，所以S_△ABC=5S_△AGE．

解答：解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分別是AD、BC的中點，
∴DE=

1

2

AD，BF=

1

2

BC，
∴DE=BF，
而DE∥BF，
∴四邊形DEBF為平行四邊形，
∴BE=DF，所以①正確；
∵AE∥BC，
∴△AEG∽△CBG，
∴

AG

CG

=

EG

BG

=

AE

BC

=

1

2

，
∴CG=2AG，BG=2GE，所以③正確；
同理可得AF=2CH，
∴AG=GF=HC，所以②正確；
∵△AEG∽△CBG，
∴

S△AEG

S△BCG

=（

AE

BC

）²=

1

4

，即S_△BCG=4S_△AEG，
∵BG=2GE，
∴S_△ABG=2S_△AEG，
∴S_△ABC=5S_△AGE；所以④正確．
故答案為①②③④．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊所截的三角形與原三角形相似；相似三角形對應邊的比等于相等，都等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．也考查了平行四邊形的判定與性質．