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        1. (2012•鄭州模擬)已知二次函數(shù)y=ax2+bx-2的圖象經(jīng)過點A(1,0)及B(-2,0)兩點.
          (1)求二次函數(shù)的表達式及拋物線頂點M的坐標(biāo);
          (2)若點N為線段BM上的一點,過點N作x軸的垂線,垂足為點Q,當(dāng)點N在線段BM上運動時(點N不與點B、點M重合),設(shè)NQ的長為t,四邊形NQAC的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出四邊形NQAC的面積的最大值;
          (3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PAC為直角三角形?若存在,直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo).
          分析:(1)利用交點式得出拋物線的解析式為y=a(x-1)(x+2),將C(0,-2)坐標(biāo)代入求出a的值即可;
          (2)利用待定系數(shù)法求出線段BM所在的直線的解析式,再利用S=S△AOC+S梯形OCNQ求出S與t間的函數(shù)關(guān)系式即可求出最值;
          (3)利用①若∠APC=90°,則PC2+PA2=AC2,②若∠ACP=90°,則PC2+AC2=PA2,③若∠PAC=90°,則AC2+PA2=PC2,分別求出m的值即可得出P點坐標(biāo).
          解答:解:(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx-2的圖象經(jīng)過點A(1,0)及B(-2,0)兩點.
          ∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)(x+2),將C(0,-2)坐標(biāo)代入,-2=a(0-1)(0+2),
          解得:a=1,
          故y=x2+x-2=(x+
          1
          2
          2-
          9
          4
          ;則其頂點M的坐標(biāo)是(-
          1
          2
          ,-
          9
          4
          ).

          (2)設(shè)線段BM所在直線的解析式為y=kx+b,
          0=-2k+b
          -
          9
          4
          =-
          1
          2
          k+b

          解得:
          k=-
          3
          2
          b=-3

          ∴線段BM所在的直線的解析式為y=-
          3
          2
          x-3.
          ∵-t=-
          3
          2
          x-3,∴x=
          2
          3
          t-2
          ,點N的坐標(biāo)為N(
          2
          3
          t-2
          ,-t),
          ∴S=S△AOC+S梯形OCNQ=
          1
          2
          ×1×2+
          1
          2
          (2+t)•|
          2
          3
          t-2
          |=-
          1
          3
          t2+
          1
          3
          t+3

          ∴S與t間的函數(shù)關(guān)系式為S=-
          1
          3
          t2+
          1
          3
          t+3
          =-
          1
          3
          (t2-t)+3=-
          1
          3
          (t-
          1
          2
          2+
          37
          12

          t=
          1
          2
          時,S的最大值為
          37
          12


          (3)存在符合條件的點P,
          設(shè)點P的坐標(biāo)為P(-
          1
          2
          ,m)
          ,如圖,連接PA、PC,作CE⊥MP于E.
          則AC2=12+22=5;PA2=(-
          1
          2
          -1)2+m2
          ;PC2=(
          1
          2
          )2+(m+2)2

          分以下幾種情況討論:
          ①若∠APC=90°,則PC2+PA2=AC2,
          (-
          1
          2
          -1)2+m2
          +(
          1
          2
          )2+(m+2)2
          =5,
          解得:m1=-
          1
          2
          ,m2=-
          3
          2

          ②若∠ACP=90°,則PC2+AC2=PA2
          (
          1
          2
          )2+(m+2)2
          +5=(-
          1
          2
          -1)2+m2
          ,
          解得:m=-
          7
          4

          ③若∠PAC=90°,則AC2+PA2=PC2,(-
          1
          2
          -1)2+m2
          +5=(
          1
          2
          )2+(m+2)2
          ,
          解得:m=
          3
          4

          綜上所述,存在滿足條件的點P,其坐標(biāo)分別是:P1(-
          1
          2
          ,-
          1
          2
          )
          ,P2(-
          1
          2
          ,-
          3
          2
          )
          ,P3(-
          1
          2
          ,-
          7
          4
          )
          ,P4(-
          1
          2
          ,
          3
          4
          )
          點評:本題考查了二次函數(shù)綜合題以及勾股定理的應(yīng)用等知識,注意△PAC為直角三角形時,需要分三種情況進行討論,以防漏解.
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          4
          9
          4
          9

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