Question

【題目】問題提出

（1）如圖①，在矩形ABCD中，AB=2AD，E為CD的中點(diǎn)，則∠AEB　 　∠ACB（填“＞”“＜”“=”）；

問題探究

（2）如圖②，在正方形ABCD中，P為CD邊上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P位于何處時，∠APB最大？并說明理由；

問題解決

（3）如圖③，在一幢大樓AD上裝有一塊矩形廣告牌，其側(cè)面上、下邊沿相距6米（即AB=6米），下邊沿到地面的距離BD=11.6米．如果小剛的睛睛距離地面的高度EF為1.6米，他從遠(yuǎn)處正對廣告牌走近時，在P處看廣告效果最好（視角最大），請你在圖③中找到點(diǎn)P的位置，并計(jì)算此時小剛與大樓AD之間的距離．

Answer 1

【答案】（1）＞；（2）當(dāng)點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時，∠APB最大，理由見解析；（3）4米．

【解析】

（1）過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，由矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定得到：△AEF是等腰直角三角形，易證∠AEB=90°，而∠ACB＜90°，由此可以比較∠AEB與∠ACB的大小

（2）假設(shè)P為CD的中點(diǎn)，作△APB的外接圓⊙O，則此時CD切⊙O于P，在CD上取任意異于P點(diǎn)的點(diǎn)E，連接AE，與⊙O交于點(diǎn)F，連接BE、BF；由∠AFB是△EFB的外角，得∠AFB＞∠AEB，且∠AFB與∠APB均為⊙O中弧AB所對的角，則∠AFB=∠APB，即可判斷∠APB與∠AEB的大小關(guān)系，即可得點(diǎn)P位于何處時，∠APB最大；

（3）過點(diǎn)E作CE∥DF，交AD于點(diǎn)C，作AB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)Q，并在垂直平分線上取點(diǎn)O，使OA=CQ，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑作圓，則⊙O切CE于點(diǎn)G，連接OG，并延長交DF于點(diǎn)P，連接OA，再利用勾股定理以及長度關(guān)系即可得解.

解：（1）∠AEB＞∠ACB，理由如下：

如圖1，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，

∵在矩形ABCD中，AB=2AD，E為CD中點(diǎn)，

∴四邊形ADEF是正方形，

∴∠AEF=45°，

同理，∠BEF=45°，

∴∠AEB=90°．

而在直角△ABC中，∠ABC=90°，

∴∠ACB＜90°，

∴∠AEB＞∠ACB．

故答案為：＞；

（2）當(dāng)點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時，∠APB最大，理由如下：

假設(shè)P為CD的中點(diǎn)，如圖2，作△APB的外接圓⊙O，則此時CD切⊙O于點(diǎn)P，

在CD上取任意異于P點(diǎn)的點(diǎn)E，連接AE，與⊙O交于點(diǎn)F，連接BE，BF，

∵∠AFB是△EFB的外角，

∴∠AFB＞∠AEB，

∵∠AFB=∠APB，

∴∠APB＞∠AEB，

故點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時，∠APB最大：

（3）如圖3，過點(diǎn)E作CE∥DF交AD于點(diǎn)C，作線段AB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)Q，并在垂直平分線上取點(diǎn)O，使OA=CQ，

以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑作圓，則⊙O切CE于點(diǎn)G，連接OG，并延長交DF于點(diǎn)P，此時點(diǎn)P即為小剛所站的位置，

由題意知DP=OQ=，

∵OA=CQ=BD+QB﹣CD=BD+AB﹣CD，

BD=11.6米， AB=3米，CD=EF=1.6米，

∴OA=11.6+3﹣1.6=13米，

∴DP=米，

即小剛與大樓AD之間的距離為4米時看廣告牌效果最好．