Question

【題目】我們知道平行四邊形有很多性質(zhì)，現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，會發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論．

（發(fā)現(xiàn)與證明）ABCD中，AB≠BC，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連結(jié)B′D．

結(jié)論1：△AB′C與ABCD重疊部分的圖形是等腰三角形；

結(jié)論2：B′D∥AC

…

（應用與探究）

在ABCD中，已知BC=2，∠B=45°，將△ABC沿AC翻折至△AB′C，連結(jié)B′D．若以A、C、D、B′為頂點的四邊形是正方形，求AC的長．(要求畫出圖形)

Answer 1

【答案】[發(fā)現(xiàn)與證明]：證明見解析；[應用與探究]：AC的長為或2．

【解析】

[發(fā)現(xiàn)與證明]由平行四邊形的性質(zhì)得出∠EAC=∠ACB，由翻折的性質(zhì)得出∠ACB=∠ACB′，證出∠EAC=∠ACB′，得出AE=CE；得出DE=B′E，證出∠CB′D=∠B′DA= (180°-∠B′ED)，由∠AEC=∠B′ED，得出∠ACB′=∠CB′D，即可得出B′D∥AC；

[應用與探究]：分兩種情況：①由正方形的性質(zhì)得出∠CAB′=90°，得出∠BAC=90°，再由三角函數(shù)即可求出AC；

②由正方形的性質(zhì)和已知條件得出AC=BC=2．

解：[發(fā)現(xiàn)與證明]：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴∠EAC=∠ACB，

∵△ABC≌△AB′C，

∴∠ACB=∠ACB′，BC=B′C，

∴∠EAC=∠ACB′，

∴AE=CE，

即△ACE是等腰三角形；

∴DE=B′E，

∴∠CB′D=∠B′DA=(180°-∠B′ED)，

∵∠AEC=∠B′ED，

∴∠ACB′=∠CB′D，

∴B′D∥AC；

[應用與探究]：分兩種情況：①如圖1所示：

∵四邊形ACDB′是正方形，

∴∠CAB′=90°，

∴∠BAC=90°，

∵∠B=45°，

∴AC=BC=；

②如圖2所示：AC=BC=2；

綜上所述：AC的長為或2．