Question

（2012•崇明縣一模）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，CD⊥AB于D點(diǎn)，∠BAC的角平分線交BC于，點(diǎn)E，交線段BD于點(diǎn)F．
（1）求證：AC•AF=AE•AD；
（2）試判斷線段DF與BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（3）若令線段DF的長(zhǎng)為x，△BEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）由AE平分∠CAB得到∠CAE=∠FAD，易證得Rt△ACE∽R(shí)t△ADF，則AC：AD=AE：AF，變形后即可得到結(jié)論；
（2）過(guò)E作EM⊥AB于M點(diǎn)，根據(jù)角平分線定理可得EM=EC，則Rt△AME≌Rt△ACE，得到AM=AC；再根據(jù)平行線分線段成比例定理得到

FD

EM

=

AD

AM

，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AM=AC=BC=

2

AD，EM=

2

2

BE，代入上式得到FD=

2

2

BE•

2

2

=

1

2

BE；
（3）過(guò)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，根據(jù)三角形的角平分線相交于一點(diǎn)由CD和AE為△ABC的角平分線得到BF平分∠ABC，則FG=FD=x，再根據(jù)三角形的面積公式即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系．

解答：（1）證明：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠FAD，
而CD⊥AB，
∴∠FDA=90°，
∴Rt△ACE∽R(shí)t△ADF，
∴AC：AD=AE：AF，
∴AC•AF=AE•AD；

（2）解：線段DF=

1

2

BE．理由如下：
過(guò)E作EM⊥AB于M點(diǎn)，如圖，
∴EM=EC，
∴Rt△AME≌Rt△ACE，
∴AM=AC
∵FD∥EM，
∴

FD

EM

=

AD

AM

，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴△CAB為等腰直角三角形，
∴AM=AC=BC=

2

AD，EM=

2

2

BE，
∴FD=

2

2

BE•

2

2

=

1

2

BE；

（3）解：過(guò)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，如圖，
∵CD和AE為△ABC的角平分線，
∴BF平分∠ABC，
∴FG=FD=x，
∴y=

1

2

FG•BE=

1

2

x•2x=x²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式以及角平分線的性質(zhì)．