Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）、B（0，3）、C（1，0）三點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖1，將拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸繞拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，與直線(xiàn)y=﹣x交于點(diǎn)N．在直線(xiàn)DN上是否存在點(diǎn)M，使∠MON=75°．若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)P、Q分別是拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c和直線(xiàn)y=﹣x上的點(diǎn)，當(dāng)四邊形OBPQ是直角梯形時(shí)，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意把A（﹣3，0）、B（0，3）、C（1，0）代入y=ax2+bx+c列方程組得：

，解得 ．

∴拋物線(xiàn)的解析式是y=﹣x2﹣2x+3．

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4）

（2）

解：存在．

理由：如圖

方法（一）：

由旋轉(zhuǎn)得∠EDF=60°，在Rt△DEF中，∵∠EDF=60°，DE=4，

∴EF=DE×tan60°=4 ．∴OF=OE+EF=1+4 ．

∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ，0）．

設(shè)過(guò)點(diǎn)D、F的直線(xiàn)解析式是y=κx+b，

把D（﹣1，4），F(xiàn)（ ，0）

代入求得 ．

分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)M在射線(xiàn)ND上時(shí)，

∵∠MON=75°，∠BON=45°，

∴∠MOB=∠MON﹣∠BON=30°．∴∠MOC=60°．

∴直線(xiàn)OM的解析式為y= x．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為方程組． 的解，解方程組得， ．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ， ）．

②當(dāng)點(diǎn)M在射線(xiàn)NF上時(shí)，不存在點(diǎn)M使得∠MON=75°

理由：∵∠MON=75°，∠FON=45°，∴∠FOM=∠MON﹣∠FON=30°．

∵∠DFE=30°，∴∠FOM=∠DFE．∴OM∥FN．∴不存在，

綜上所述，存在點(diǎn)M，且點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ， ）．

方法（二）①M(fèi)在射線(xiàn)ND上，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥x軸于點(diǎn)P，

由旋轉(zhuǎn)得∠EDF=60°，在Rt△DEF中，∵∠EDF=60°，DE=4

∴EF=DE×tan60°=4 ．∴OF=OE﹢EF=1+4 ．

∵∠MON=75°，∠BON=45°，∴∠MOB=∠MON﹣∠BON=30°．

∴∠MOC=60°．在Rt△MOP中，∴MP= OP．

在Rt△MPF中，∵tan∠MFP= ，

∴ = ．

∴OP=2 ﹢ ．∴MP=6﹢ ．

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（2 ﹢ 、6﹢ ），

②M在射線(xiàn)NF上，不存在點(diǎn)M使得∠MON=75°

理由：∵∠MON=75°，∠FON=45°，∴∠FOM=∠MON﹣∠FON=30°．

∵∠DFE=30°．∴∠FOM=∠DFE．∴OM∥DN．∴不存在．

綜上所述，存在點(diǎn)M，且點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ， ）

（3）

解：有兩種情況①直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP=90°．如圖2，

∵∠OBP=∠AOB=90°，∴PB∥OA．

所以點(diǎn)P、B的縱坐標(biāo)相同都是3．

因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線(xiàn)y=﹣x2﹣2x+3上，

把y=3代入拋物線(xiàn)的解析式中得x1=0（舍去），x2=﹣2．

由PQ∥OB得到點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)相同，

都等于﹣2．把x=﹣2代入y=﹣x得y=2．

所以Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，2）．

②在直角梯形OBPQ中，PB∥OQ，∠BPQ=90°．

如圖3，

∵D（﹣1，4），B（0，3），∵PB∥OQ，∴DB∥OQ，

點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，∴點(diǎn)P、D重合．

∴∠EDF=∠EFD=45°．∴EF=ED=4．

∴OF=OE+EF=5．

作QH⊥x軸于H，∵∠QOF=∠QFO=45°，

∴OQ=FQ．∴OH= OF= ．

∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)﹣ ．∵Q點(diǎn)在y=﹣x上，∴把x=﹣ 代入y=﹣x得y= ．∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣ ， ）．

綜上，符合條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為：（﹣2，2），（﹣ ， ）

【解析】（1）利用待定系數(shù)法將A，B，C三點(diǎn)代入求出a，b，c即可得出解析式；（2）首先求出EF的長(zhǎng)進(jìn)而得出F點(diǎn)的坐標(biāo)，再分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)M在射線(xiàn)ND上時(shí)，∠MON=75°，②當(dāng)點(diǎn)M在射線(xiàn)NF上時(shí)，不存在點(diǎn)M使得∠MON=75°，分別得出M點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（3）分別根據(jù)①直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP=90°，②在直角梯形OBPQ中，PB∥OQ，∠BPQ=90°求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)即可．