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        1. 【題目】某數(shù)學興趣小組在數(shù)學課外活動中,研究三角形和正方形的性質時,做了如下探究:
          在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與B,C重合),以AD為邊在AD右側作正方形ADEF,連接CF.
          (1)觀察猜想
          如圖1,當點D在線段BC上時,

          ①BC與CF的位置關系為:
          ②BC,DC,CF之間的數(shù)量關系為:;(將結論直接寫在橫線上)
          (2)數(shù)學思考
          如圖2,當點D在線段CB的延長線上時,(1)中的①,②結論是否仍然成立?若成立,請給予證明;若不成立,請你寫出正確結論再給予證明.

          (3)拓展延伸
          如圖3,當點D在線段BC的延長線上時,延長BA交CF于點G,連接GE.若已知AB=2,CD=BC,請直接寫出GE的長.

          【答案】
          (1)垂直,BC=CF+CD
          (2)解:CF⊥BC成立;BC=CD+CF不成立,CD=CF+BC.理由如下:

          ∵正方形ADEF中,AD=AF,

          ∵∠BAC=∠DAF=90°,

          ∴∠BAD=∠CAF,

          在△DAB與△FAC中, ,

          ∴△DAB≌△FAC(SAS),

          ∴∠ABD=∠ACF,

          ∵∠BAC=90°,AB=AC,

          ∴∠ACB=∠ABC=45°.

          ∴∠ABD=180°﹣45°=135°,

          ∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°,

          ∴CF⊥BC.

          ∵CD=DB+BC,DB=CF,

          ∴CD=CF+BC.


          (3)解:過A作AH⊥BC于H,過E作EM⊥BD于M,EN⊥CF于N,如圖3所示:

          ∵∠BAC=90°,AB=AC,

          ∴BC= AB=2 ,AH= BC= ,

          ∴CD= BC= ,CH= BC= ,

          ∴DH= ,

          由(2)證得BC⊥CF,CF=BD=

          ∵四邊形ADEF是正方形,

          ∴AD=DE,∠ADE=90°,

          ∵BC⊥CF,EM⊥BD,EN⊥CF,

          ∴四邊形CMEN是矩形,

          ∴NE=CM,EM=CN,

          ∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°,

          ∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°,

          ∴∠ADH=∠DEM,

          在△ADH與△DEM中, ,

          ∴△ADH≌△DEM(AAS),

          ∴EM=DH= ,DM=AH=

          ∴CN=EM= ,EN=CM=

          ∵∠ABC=45°,

          ∴∠BGC=45°,

          ∴△BCG是等腰直角三角形,

          ∴CG=BC=2

          ∴GN=CG﹣CN= ,

          ∴EG= = =


          【解析】解:(1)①正方形ADEF中,AD=AF,

          ∵∠BAC=∠DAF=90°,

          ∴∠BAD=∠CAF,

          在△DAB與△FAC中, ,

          ∴△DAB≌△FAC(SAS),

          ∴∠B=∠ACF,

          ∴∠ACB+∠ACF=90°,即BC⊥CF;

          所以答案是:垂直;②△DAB≌△FAC,

          ∴CF=BD,

          ∵BC=BD+CD,

          ∴BC=CF+CD;

          所以答案是:BC=CF+CD;

          【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用正方形的性質的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

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