Question

【題目】如圖，∠AOB=90°，反比例函數(shù)y=﹣ （x＜0）的圖象過點A（﹣1，a），反比例函數(shù)y= （k＞0，x＞0）的圖象過點B，且AB∥x軸．
（1）求a和k的值；
（2）過點B作MN∥OA，交x軸于點M，交y軸于點N，交雙曲線y= 于另一點，求△OBC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵反比例函數(shù)y=﹣ （x＜0）的圖象過點A（﹣1，a），

∴a=﹣ =2，

∴A（﹣1，2），

過A作AE⊥x軸于E，BF⊥⊥x軸于F，

∴AE=2，OE=1，

∵AB∥x軸，

∴BF=2，

∵∠AOB=90°，

∴∠EAO+∠AOE=∠AOE+∠BOF=90°，

∴∠EAO=∠BOF，

∴△AEO∽△OFB，

∴ ，

∴OF=4，

∴B（4，2），

∴k=4×2=8；

（2）解：∵直線OA過A（﹣1，2），

∴直線AO的解析式為y=﹣2x，

∵MN∥OA，

∴設直線MN的解析式為y=﹣2x+b，

∴2=﹣2×4+b，

∴b=10，

∴直線MN的解析式為y=﹣2x+10，

∵直線MN交x軸于點M，交y軸于點N，

∴M（5，0），N（0，10），

解 得， 或 ，

∴C（1，8），

∴△OBC的面積=S△OMN﹣S△OCN﹣S△OBM= 5×10﹣ ×10×1﹣ ×5×2=15．

【解析】（1）把A（﹣1，a）代入反比例函數(shù)y=﹣ 得到A（﹣1，2），過A作AE⊥x軸于E，BF⊥⊥x軸于F，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到B（4，2），于是得到k=4×2=8；（2）求的直線AO的解析式為y=﹣2x，設直線MN的解析式為y=﹣2x+b，得到直線MN的解析式為y=﹣2x+10，解方程組得到C（1，8），于是得到結(jié)論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解比例系數(shù)k的幾何意義的相關知識，掌握幾何意義：表示反比例函數(shù)圖像上的點向兩坐標軸所作的垂線段與兩坐標軸圍成的矩形的面積．